Was ist eine Gruppe?

Eine Gruppe ist in der Mathematik eine Menge von Elementen, die mit einer bestimmten Verknüpfung ausgestattet ist und dabei bestimmte Eigenschaften erfüllt. Diese Eigenschaften sind:

1. **Abgeschlossenheit**: Wenn zwei Elemente der Gruppe verknüpft werden, ist das Ergebnis ebenfalls ein Element der Gruppe.
2. **Assoziativität**: Die Verknüpfung ist assoziativ, das heißt, für alle Elemente a, b und c in der Gruppe gilt: (a * b) * c = a * (b * c).
3. **Identitätselement**: Es gibt ein Element e in der Gruppe, das als Identitätselement fungiert, sodass für jedes Element a in der Gruppe gilt: e * a = a * e = a.
4. **Inverses Element**: Zu jedem Element a in der Gruppe gibt es ein inverses Element b, sodass a * b = b * a = e.

Gruppen sind ein zentrales Konzept in der Algebra und finden Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik.