Wie berechne ich die Mondmasse aus dem 3. Keplerschen Gesetz?

Um die Masse des Mondes mithilfe des 3. Keplerschen Gesetzes zu berechnen, benötigst du die Umlaufzeit eines Satelliten um den Mond und den Abstand dieses Satelliten vom Mondmittelpunkt. Das 3. Keplersche Gesetz besagt:

\[ T^2 = \frac{4 \pi^2}{G (M + m)} a^3 \]

Hierbei ist:
- \( T \) die Umlaufzeit des Satelliten,
- \( a \) die große Halbachse der Umlaufbahn (im Fall einer kreisförmigen Bahn entspricht dies dem Radius der Umlaufbahn),
- \( G \) die Gravitationskonstante,
- \( M \) die Masse des Mondes,
- \( m \) die Masse des Satelliten.

Da die Masse des Satelliten \( m \) im Vergleich zur Masse des Mondes \( M \) vernachlässigbar klein ist, kann die Gleichung vereinfacht werden zu:

\[ T^2 \approx \frac{4 \pi^2}{G M} a^3 \]

Um die Masse des Mondes \( M \) zu berechnen, löse die Gleichung nach \( M \) auf:

\[ M \approx \frac{4 \pi^2 a^3}{G T^2} \]

Nun kannst du die bekannten Werte einsetzen:
- \( T \) (die Umlaufzeit des Satelliten um den Mond),
- \( a \) (den Abstand des Satelliten vom Mondmittelpunkt),
- \( G \) (die Gravitationskonstante, \( G \approx 6,674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2} \)).

Beispiel:
Angenommen, ein Satellit umkreist den Mond in einer Höhe von 100 km über der Mondoberfläche. Der Mondradius beträgt etwa 1.737 km, also ist \( a = 1.737 + 0.1 = 1.837 \) km = 1.837.000 m. Die Umlaufzeit \( T \) beträgt etwa 2 Stunden = 7.200 Sekunden.

Setze diese Werte in die Gleichung ein:

\[ M \approx \frac{4 \pi^2 (1.837.000 \, \text{m})^3}{6,674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2} \times (7.200 \, \text{s})^2} \]

Berechne dies, um die Masse des Mondes zu erhalten.