Wie lautet eine gute Aufgabe mit Lösung zum Zerfall einer Bierschaumkrone (exponentielles Wachstum) für die 10. Klasse?

Eine gute Aufgabe zum Thema Zerfall einer Bierschaumkrone, die das Konzept des exponentiellen Zerfalls veranschaulicht, könnte wie folgt aussehen:

**Aufgabe:**

Ein Glas Bier wird frisch eingeschenkt und bildet eine Schaumkrone. Die Höhe der Schaumkrone beträgt zu Beginn 6 cm. Es wird beobachtet, dass die Höhe der Schaumkrone exponentiell mit einer Halbwertszeit von 5 Minuten abnimmt.

1. Stelle die Funktion \( h(t) \) auf, die die Höhe der Schaumkrone in Abhängigkeit von der Zeit \( t \) in Minuten beschreibt.
2. Berechne die Höhe der Schaumkrone nach 10 Minuten.
3. Nach welcher Zeit ist die Schaumkrone auf 1 cm Höhe geschrumpft?

**Lösung:**

1. Die allgemeine Formel für exponentiellen Zerfall lautet:
\[
h(t) = h_0 \cdot e^{-kt}
\]
wobei \( h_0 \) die Anfangshöhe der Schaumkrone ist und \( k \) die Zerfallskonstante.

Da die Halbwertszeit \( T_{1/2} \) 5 Minuten beträgt, gilt:
\[
T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} \implies k = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{\ln(2)}{5}
\]

Die Funktion lautet also:
\[
h(t) = 6 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{5}t}
\]

2. Um die Höhe der Schaumkrone nach 10 Minuten zu berechnen, setze \( t = 10 \) in die Funktion ein:
\[
h(10) = 6 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{5} \cdot 10} = 6 \cdot e^{-2\ln(2)} = 6 \cdot e^{\ln(2^{-2})} = 6 \cdot 2^{-2} = 6 \cdot \frac{1}{4} = 1.5 \text{ cm}
\]

3. Um die Zeit zu berechnen, nach der die Schaumkrone auf 1 cm geschrumpft ist, setze \( h(t) = 1 \) und löse nach \( t \) auf:
\[
1 = 6 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{5}t}
\]
\[
\frac{1}{6} = e^{-\frac{\ln(2)}{5}t}
\]
\[
\ln\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\ln(2)}{5}t
\]
\[
\ln(6^{-1}) = -\frac{\ln(2)}{5}t
\]
\[
-\ln(6) = -\frac{\ln(2)}{5}t
\]
\[
t = \frac{5 \ln(6)}{\ln(2)}
\]

Näherungsweise:
\[
t \approx \frac{5 \cdot 1.79176}{0.69315} \approx 12.92 \text{ Minuten}
\]

Die Schaumkrone ist also nach etwa 12.92 Minuten auf 1 cm Höhe geschrumpft.