Wie leite ich die Formel der symmetrischen Sternschaltung her?

Die symmetrische Sternschaltung (auch Y-Schaltung genannt) ist eine Methode zur Verbindung von drei gleichen Impedanzen in einem dreiphasigen System. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung Herleitung der Formel:

1. **Grundlagen der Sternschaltung:**
- In einer Sternschaltung sind drei Impedanzen (Z) sternförmig verbunden, wobei ein gemeinsamer Punkt (der Sternpunkt) existiert.
- Die Spannungen zwischen den Phasenleitern und dem Sternpunkt werden als Phasenspannungen bezeichnet.
- Die Spannungen zwischen den Phasenleitern werden als Leiterspannungen bezeichnet.

2. **Phasenspannungen:**
- Angenommen, die Phasenspannungen sind \( V_{AN} \), \( V_{BN} \) und \( V_{CN} \), wobei \( N \) der Sternpunkt ist.
- Diese Spannungen sind in einem symmetrischen System um 120° phasenverschoben.

3. **Leiterspannungen:**
- Die Leiterspannungen sind die Spannungen zwischen den Phasenleitern: \( V_{AB} \), \( V_{BC} \) und \( V_{CA} \).
- Diese können durch die Phasenspannungen ausgedrückt werden:
\[
V_{AB} = V_{AN} - V_{BN}
\]
\[
V_{BC} = V_{BN} - V_{CN}
\]
\[
V_{CA} = V_{CN} - V_{AN}
\]

4. **Verhältnis zwischen Phasenspannung und Leiterspannung:**
- In einem symmetrischen System sind die Phasenspannungen gleich groß, aber um 120° phasenverschoben.
- Die Leiterspannung ist die Vektorsumme von zwei Phasenspannungen, die um 120° phasenverschoben sind.
- Mathematisch ergibt sich das Verhältnis:
\[
V_{L} = \sqrt{3} \cdot V_{P}
\]
wobei \( V_{L} \) die Leiterspannung und \( V_{P} \) die Phasenspannung ist.

5. **Strom in der Sternschaltung:**
- Der Strom durch jede Impedanz ist gleich dem Phasenstrom \( I_P \).
- Da die Impedanzen gleich sind, ist der Phasenstrom:
\[
I_P = \frac{V_P}{Z}
\]
wobei \( Z \) die Impedanz ist.

6. **Zusammenfassung der Formeln:**
- Phasenspannung: \( V_P \)
- Leiterspannung: \( V_L = \sqrt{3} \cdot V_P \)
- Phasenstrom: \( I_P = \frac{V_P}{Z} \)

Diese Herleitung zeigt, wie die Spannungen und Ströme in einer symmetrischen Sternschaltung zusammenhängen.