Wie lange dauert es bei kontinuierlicher Verzinsung, bis sich das Kapital verdoppelt oder verdreifacht?

Um die Zeit zu berechnen, die benötigt wird, um ein Kapital bei kontinuierlicher Verzinsung zu verdoppeln oder zu verdreifachen, kannst du die Formel für das exponentielle Wachstum verwenden. Bei kontinuierlicher Verzinsung wird oft die Formel \( K(t) = K_0 \cdot e^{rt} \) verwendet, wobei \( K(t) \) das Kapital nach der Zeit \( t \), \( K_0 \) das Anfangskapital, \( r \) der Zinssatz und \( e \) die Eulersche Zahl ist.

1. **Verdopplung des Kapitals**:
Um herauszufinden, wie lange es dauert, bis sich das Kapital verdoppelt, setzt du \( K(t) = 2K_0 \):
\[
2K_0 = K_0 \cdot e^{rt}
\]
Das vereinfacht sich zu:
\[
2 = e^{rt}
\]
Durch den natürlichen Logarithmus erhältst du:
\[
rt = \ln(2)
\]
Daraus folgt:
\[
t = \frac{\ln(2)}{r}
\]

2. **Verdreifachung des Kapitals**:
Für die Verdreifachung setzt du \( K(t) = 3K_0 \):
\[
3K_0 = K_0 \cdot e^{rt}
\]
Das vereinfacht sich zu:
\[
3 = e^{rt}
\]
Durch den natürlichen Logarithmus erhältst du:
\[
rt = \ln(3)
\]
Daraus folgt:
\[
t = \frac{\ln(3)}{r}
\]

Wenn du die Zeit in Monaten angibst, musst du den Zinssatz \( r \) in einer Form haben, die mit der Zeit in Monaten kompatibel ist. Wenn du weißt, dass es 141 Monate dauert, um das Kapital zu verdoppeln, kannst du den Zinssatz berechnen:

\[
r = \frac{\ln(2)}{141}
\]

Um die Zeit für die Verdreifachung zu berechnen, setzt du diesen Wert in die Formel für \( t \) ein:

\[
t = \frac{\ln(3)}{r} = \frac{\ln(3) \cdot 141}{\ln(2)}
\]

Das ergibt die Zeit in Monaten, die benötigt wird, um das Kapital zu verdreifachen. Wenn du die genauen Werte berechnen möchtest, kannst du die natürlichen Logarithmen von 2 und 3 verwenden.