3 Fragen zu Additionsverfahren

Um die Lösungsmenge des gegebenen Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren zu bestimmen, betrachten wir die beiden Gleichungen: 1. \( 3x + 5y = 2 \) (Gleichung 1) 2. \( -15x + 25y = -19 \) (Gleichung 2) Zuerst können wir die zweite Gleichung so umformen, dass sie einfacher zu handhaben ist. Wir teilen die gesamte Gleichung durch -5: \[ 3x - 5y = 3.8 \quad \text{(Gleichung 2 umgeformt)} \] Jetzt haben wir das Gleichungssystem: 1. \( 3x + 5y = 2 \) 2. \( 3x - 5y = 3.8 \) Nun subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten: \[ (3x - 5y) - (3x + 5y) = 3.8 - 2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ -10y = 1.8 \] Nun lösen wir nach \( y \) auf: \[ y = \frac{1.8}{-10} = -0.18 \] Jetzt setzen wir den Wert von \( y \) in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein, um \( x \) zu finden. Wir verwenden die erste Gleichung: \[ 3x + 5(-0.18) = 2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 3x - 0.9 = 2 \] Nun addieren wir 0.9 zu beiden Seiten: \[ 3x = 2 + 0.9 \] \[ 3x = 2.9 \] Jetzt teilen wir durch 3: \[ x = \frac{2.9}{3} \approx 0.9667 \] Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist somit: \[ \left( x, y \right) = \left( \frac{2.9}{3}, -0.18 \right) \quad \text{oder} \quad \left( 0.9667, -0.18 \right) \]

Um die Gleichungen \(4x + y = 27\) und \(3x + 4y = 43\) mit dem Additionsverfahren zu lösen, folge diesen Schritten: 1. **Gleichung umstellen**: Zuerst stellen wir die erste Gleichung so um, dass \(y\) isoliert ist: \[ y = 27 - 4x \] 2. **Einsetzen**: Setze \(y\) aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung ein: \[ 3x + 4(27 - 4x) = 43 \] 3. **Ausmultiplizieren**: \[ 3x + 108 - 16x = 43 \] 4. **Zusammenfassen**: \[ -13x + 108 = 43 \] 5. **Umstellen**: \[ -13x = 43 - 108 \] \[ -13x = -65 \] \[ x = 5 \] 6. **Wert für \(x\) in die erste Gleichung einsetzen**: \[ y = 27 - 4(5) \] \[ y = 27 - 20 \] \[ y = 7 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also: \[ x = 5, \quad y = 7 \] Du kannst die Werte \(x\) und \(y\) in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzen, um zu überprüfen, ob sie korrekt sind.

Um das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Schreibe die Gleichungen in eine standardisierte Form: \[ \frac{8}{11}x + \frac{3}{4}y = 14 \] \[ \frac{6}{11}x - \frac{1}{2}y = 2 \] 2. Multipliziere die Gleichungen so, dass die Koeffizienten von \(y\) gleich werden. Dazu finden wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der \(y\)-Koeffizienten (4 und 2), was 4 ist. Multipliziere die zweite Gleichung mit 2: \[ 2 \left( \frac{6}{11}x - \frac{1}{2}y \right) = 2 \cdot 2 \] \[ \frac{12}{11}x - y = 4 \] 3. Nun haben wir das System: \[ \frac{8}{11}x + \frac{3}{4}y = 14 \] \[ \frac{12}{11}x - y = 4 \] 4. Multipliziere die erste Gleichung mit 4, um die \(y\)-Koeffizienten gleich zu machen: \[ 4 \left( \frac{8}{11}x + \frac{3}{4}y \right) = 4 \cdot 14 \] \[ \frac{32}{11}x + 3y = 56 \] 5. Nun haben wir das System: \[ \frac{32}{11}x + 3y = 56 \] \[ \frac{12}{11}x - y = 4 \] 6. Multipliziere die zweite Gleichung mit 3, um die \(y\)-Koeffizienten gleich zu machen: \[ 3 \left( \frac{12}{11}x - y \right) = 3 \cdot 4 \] \[ \frac{36}{11}x - 3y = 12 \] 7. Nun haben wir das System: \[ \frac{32}{11}x + 3y = 56 \] \[ \frac{36}{11}x - 3y = 12 \] 8. Addiere die beiden Gleichungen, um \(y\) zu eliminieren: \[ \left( \frac{32}{11}x + 3y \right) + \left( \frac{36}{11}x - 3y \right) = 56 + 12 \] \[ \frac{68}{11}x = 68 \] 9. Löse nach \(x\) auf: \[ x = 1 \] 10. Setze \(x = 1\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \(y\) zu finden. Verwende die zweite Gleichung: \[ \frac{6}{11}(1) - \frac{1}{2}y = 2 \] \[ \frac{6}{11} - \frac{1}{2}y = 2 \] \[ -\frac{1}{2}y = 2 - \frac{6}{11} \] \[ -\frac{1}{2}y = \frac{22}{11} - \frac{6}{11} \] \[ -\frac{1}{2}y = \frac{16}{11} \] \[ y = -\frac{16}{11} \cdot 2 \] \[ y = -\frac{32}{11} \] Das Lösungspaar ist: \[ x = 1, \quad y = -\frac{32}{11} \]