2 Fragen zu Bierschaum

Eine gute Aufgabe zum Thema Zerfall einer Bierschaumkrone, die das Konzept des exponentiellen Zerfalls veranschaulicht, könnte wie folgt aussehen: **Aufgabe:** Ein Glas Bier wird frisch eingeschenkt und bildet eine Schaumkrone. Die Höhe der Schaumkrone beträgt zu Beginn 6 cm. Es wird beobachtet, dass die Höhe der Schaumkrone exponentiell mit einer Halbwertszeit von 5 Minuten abnimmt. 1. Stelle die Funktion \( h(t) \) auf, die die Höhe der Schaumkrone in Abhängigkeit von der Zeit \( t \) in Minuten beschreibt. 2. Berechne die Höhe der Schaumkrone nach 10 Minuten. 3. Nach welcher Zeit ist die Schaumkrone auf 1 cm Höhe geschrumpft? **Lösung:** 1. Die allgemeine Formel für exponentiellen Zerfall lautet: \[ h(t) = h_0 \cdot e^{-kt} \] wobei \( h_0 \) die Anfangshöhe der Schaumkrone ist und \( k \) die Zerfallskonstante. Da die Halbwertszeit \( T_{1/2} \) 5 Minuten beträgt, gilt: \[ T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} \implies k = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{\ln(2)}{5} \] Die Funktion lautet also: \[ h(t) = 6 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{5}t} \] 2. Um die Höhe der Schaumkrone nach 10 Minuten zu berechnen, setze \( t = 10 \) in die Funktion ein: \[ h(10) = 6 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{5} \cdot 10} = 6 \cdot e^{-2\ln(2)} = 6 \cdot e^{\ln(2^{-2})} = 6 \cdot 2^{-2} = 6 \cdot \frac{1}{4} = 1.5 \text{ cm} \] 3. Um die Zeit zu berechnen, nach der die Schaumkrone auf 1 cm geschrumpft ist, setze \( h(t) = 1 \) und löse nach \( t \) auf: \[ 1 = 6 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{5}t} \] \[ \frac{1}{6} = e^{-\frac{\ln(2)}{5}t} \] \[ \ln\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\ln(2)}{5}t \] \[ \ln(6^{-1}) = -\frac{\ln(2)}{5}t \] \[ -\ln(6) = -\frac{\ln(2)}{5}t \] \[ t = \frac{5 \ln(6)}{\ln(2)} \] Näherungsweise: \[ t \approx \frac{5 \cdot 1.79176}{0.69315} \approx 12.92 \text{ Minuten} \] Die Schaumkrone ist also nach etwa 12.92 Minuten auf 1 cm Höhe geschrumpft.

Zum Thema exponentielles Wachstum und Zerfall einer Bierschaumkrone können verschiedene Aufgaben berechnet werden. Hier sind einige Beispiele: 1. **Bestimmung der Zerfallskonstante:** - Gegeben: Anfangshöhe der Schaumkrone \( H_0 \) und die Höhe \( H(t) \) nach einer bestimmten Zeit \( t \). - Aufgabe: Bestimme die Zerfallskonstante \( k \) in der Gleichung \( H(t) = H_0 \cdot e^{-kt} \). 2. **Berechnung der Schaumhöhe nach einer bestimmten Zeit:** - Gegeben: Anfangshöhe der Schaumkrone \( H_0 \), die Zerfallskonstante \( k \) und die Zeit \( t \). - Aufgabe: Berechne die Höhe der Schaumkrone \( H(t) \) nach der Zeit \( t \). 3. **Bestimmung der Zeit bis zu einer bestimmten Schaumhöhe:** - Gegeben: Anfangshöhe der Schaumkrone \( H_0 \), die Zerfallskonstante \( k \) und eine bestimmte Höhe \( H(t) \). - Aufgabe: Berechne die Zeit \( t \), nach der die Schaumkrone die Höhe \( H(t) \) erreicht. 4. **Vergleich von Zerfallskurven:** - Gegeben: Zwei verschiedene Biersorten mit unterschiedlichen Zerfallskonstanten \( k_1 \) und \( k_2 \). - Aufgabe: Vergleiche die Zerfallskurven und bestimme, welche Biersorte schneller an Schaumhöhe verliert. 5. **Halbwertszeit des Schaums:** - Gegeben: Die Zerfallskonstante \( k \). - Aufgabe: Berechne die Halbwertszeit \( t_{1/2} \), also die Zeit, nach der die Schaumhöhe auf die Hälfte der Anfangshöhe gesunken ist. Diese Aufgaben helfen, das Konzept des exponentiellen Zerfalls zu verstehen und anzuwenden.