2 Fragen zu Binomialverteilung

Um die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq 12) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) mit den Parametern \( n = 20 \) und \( p = 0.2 \) zu berechnen, kann die kumulative Verteilungsfunktion der Binomialverteilung verwendet werden. Die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq k) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) mit den Parametern \( n \) und \( p \) ist gegeben durch: \[ P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \] Für \( n = 20 \), \( p = 0.2 \) und \( k = 12 \) ergibt sich: \[ P(X \leq 12) = \sum_{i=0}^{12} \binom{20}{i} (0.2)^i (0.8)^{20-i} \] Diese Berechnung kann manuell sehr aufwendig sein, daher wird in der Praxis oft eine Tabelle der kumulativen Binomialverteilung oder ein Taschenrechner/Software verwendet, um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Mit einem geeigneten Taschenrechner oder einer Software wie R oder Python kann die Berechnung wie folgt durchgeführt werden: In R: ```R pbinom(12, size = 20, prob = 0.2) ``` In Python mit der Bibliothek SciPy: ```python from scipy.stats import binom binom.cdf(12, 20, 0.2) ``` Beide Methoden liefern die Wahrscheinlichkeit \( P(X \leq 12) \). Die exakte Berechnung ergibt: \[ P(X \leq 12) \approx 0.9994 \] Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \( X \) höchstens 12 Erfolge hat, beträgt etwa 99,94%.

Um \( P(X > 2) \) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \( X \) mit den Parametern \( n = 20) und \( p = 0,2 \) zu berechnen, kann man die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) der Binomialverteilung verwenden. Die Wahrscheinlichkeit \( P(X > 2) \) ist gleich \( 1 - P(X \leq 2) \). 1. Berechne \( P(X \leq 2) \) mit der Binomialverteilung: \[ P(X \leq 2) = \sum_{k=0}^{2} \binom{20}{k} p^k (1-p)^{20-k} \] 2. Setze die Werte ein: \[ P(X \leq 2) = \binom{20}{0} (0,2)^0 (0,8)^{20} + \binom{20}{1} (0,2)^1 (0,8)^{19} + \binom{20}{2} (0,2)^2 (0,8)^{18} \] 3. Berechne die einzelnen Terme: \[ \binom{20}{0} (0,8)^{20} = 1 \cdot 0,8^{20} \approx 0,0115 \] \[ \binom{20}{1} (0,2) (0,8)^{19} = 20 \cdot 0,2 \cdot 0,8^{19} \approx 0,0576 \] \[ \binom{20}{2} (0,2)^2 (0,8)^{18} = 190 \cdot 0,04 \cdot 0,8^{18} \approx 0,1369 \] 4. Summiere die Wahrscheinlichkeiten: \[ P(X \leq 2) \approx 0,0115 + 0,0576 + 0,1369 = 0,2060 \] 5. Berechne \( P(X > 2) \): \[ P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) \approx 1 - 0,2060 = 0,7940 \] Also ist \( P(X > 2) \) ungefähr 0,7940.