19 Fragen zu Cosinus

Ja, \( \cos(2x)^2 \) ist eine verkettete Funktion. In dieser Funktion gibt es zwei Ebenen der Verkettung: Zuerst wird die innere Funktion \( 2x \) berechnet, dann wird der Kosinus dieser inneren Funktion genommen, und schließlich wird das Ergebnis quadriert. Man kann dies als \( f(g(x)) \) betrachten, wobei \( g(x) = 2x \) und \( f(u) = \cos(u)^2 \).

Die Gleichung \( \cos^2(30^\circ) + \sin^2(30^\circ) \) kann mit der Pythagore Identität gelöst werden, die besagt, dass für jeden Winkel \( \theta \ gilt: \[ \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \] Für \( \theta = 30^\circ \) ergibt sich somit: \[ \cos^2(30^\circ) + \sin^2(30^\circ) = 1 \] Das Ergebnis ist also \( 1 \).

Die Gleichung \( \cos^2 a + \sin^2 b \) kann nicht weiter vereinfacht werden, da sie keine identische Beziehung wie die Pythagoreische Identität \( \cos^2 a + \sin^2 a = 1 \) darstellt. Der Ausdruck bleibt also \( \cos^2 a + \sin^2 b \).

Um den Ausdruck \((\sqrt{2})^{17} \cos\left(-17 + 4 \cdot \left(\sqrt{9}\right)^{12}\right)\) zu vereinfachen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. **Berechnung von \((\sqrt{2})^{17}\)**: \[ (\sqrt{2})^{17} = (2^{1/2})^{17} = 2^{17/2} = 2^{8.5} = 2^8 \cdot 2^{0.5} = 256 \cdot \sqrt{2} \] 2. **Berechnung von \((\sqrt{9})^{12}\)**: \[ (\sqrt{9})^{12} = (3)^{12} = 531441 \] 3. **Berechnung des Arguments der Kosinusfunktion**: \[ -17 + 4 \cdot 531441 = -17 + 2125764 = 2125747 \] 4. **Berechnung von \(\cos(2125747)\)**: Der Wert von \(\cos\) kann nicht direkt berechnet werden, da er von der Einheit abhängt (Radiant oder Grad). Für große Werte kann man den Winkel modulo \(2\pi\) (oder \(360^\circ\) für Grad) nehmen, um den entsprechenden Wert zu finden. 5. **Endgültiger Ausdruck**: Der endgültige Ausdruck ist: \[ 256 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(2125747) \] Um den genauen Wert von \(\cos(2125747)\) zu bestimmen, müsste man den Winkel in den entsprechenden Bereich bringen.

Um den Ausdruck \( \cos(-x + \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) \) zu vereinfachen, können wir die Eigenschaft der Kosinusfunktion nutzen, dass \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \). Das bedeutet: \[ \cos(-x + \frac{\pi}{6}) = \cos(x - \frac{\pi}{6}) \] Somit wird der Ausdruck: \[ \cos(x - \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) \] Jetzt können wir die Differenz der Kosinusfunktionen mit der Formel für die Differenz von Kosinus verwenden: \[ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) \] Setze \( A = x - \frac{\pi}{6} \) und \( B = x + \frac{\pi}{6} \): 1. \( A + B = (x - \frac{\pi}{6}) + (x + \frac{\pi}{6}) = 2x \) 2. \( A - B = (x - \frac{\pi}{6}) - (x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3} \) Setze diese Werte in die Formel ein: \[ \cos(x - \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) = -2 \sin\left(\frac{2x}{2}\right) \sin\left(\frac{-\frac{\pi}{3}}{2}\right) \] Das vereinfacht sich zu: \[ -2 \sin(x) \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \] Da \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \), erhalten wir: \[ -2 \sin(x) \left(-\frac{1}{2}\right) = \sin(x) \] Somit ist die vereinfachte Form des ursprünglichen Ausdrucks: \[ \cos(-x + \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) = \sin(x) \]

Um den Ausdruck \( \cos(-x + \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) \) zu vereinfachen, kannst du die Eigenschaft der Kosinusfunktion nutzen, dass \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \). Das bedeutet: \[ \cos(-x + \frac{\pi}{6}) = \cos(x - \frac{\pi}{6}) \] Somit wird der Ausdruck zu: \[ \cos(x - \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) \] Jetzt kannst du die Differenz der Kosinusfunktionen mit der Formel für die Differenz von Kosinus verwenden: \[ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) \] Setze \( A = x - \frac{\pi}{6} \) und \( B = x + \frac{\pi}{6} \): 1. \( A + B = (x - \frac{\pi}{6}) + (x + \frac{\pi}{6}) = 2x \) 2. \( A - B = (x - \frac{\pi}{6}) - (x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3} \) Setze diese Werte in die Formel ein: \[ \cos(x - \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) = -2 \sin\left(\frac{2x}{2}\right) \sin\left(\frac{-\frac{\pi}{3}}{2}\right) \] Das vereinfacht sich zu: \[ -2 \sin(x) \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \] Da \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \), ergibt sich: \[ -2 \sin(x) \left(-\frac{1}{2}\right) = \sin(x) \] Somit ist die vereinfachte Form des ursprünglichen Ausdrucks: \[ \sin(x) \]

Um die Bogenmaße für die gegebenen trigonometrischen Gleichungen im Intervall [0; 2π] zu ermitteln, gehe ich wie folgt vor: ### a) sin(a) = 0,8 1. Bestimme den ersten Winkel a, für den der Sinus 0,8 ist. Dies geschieht typischerweise mit der Umkehrfunktion arcsin. 2. Berechne: \( a = \arcsin(0,8) \). 3. Da der Sinus im ersten und zweiten Quadranten positiv ist, gibt es zwei Lösungen: - \( a_1 = \arcsin(0,8) \) - \( a_2 = π - a_1 \) ### b) sin(B) = -0,35 1. Bestimme den ersten Winkel B, für den der Sinus -0,35 ist. Dies geschieht ebenfalls mit der Umkehrfunktion arcsin. 2. Berechne: \( B = \arcsin(-0,35) \). 3. Da der Sinus im dritten und vierten Quadranten negativ ist, gibt es zwei Lösungen: - \( B_1 = 2π + B \) (für den vierten Quadranten) - \( B_2 = π + |B| \) (für den dritten Quadranten) ### c) cos(y) = 0,4 1. Bestimme den ersten Winkel y, für den der Kosinus 0,4 ist. Dies geschieht mit der Umkehrfunktion arccos. 2. Berechne: \( y = \arccos(0,4) \). 3. Da der Kosinus im ersten und vierten Quadranten positiv ist, gibt es zwei Lösungen: - \( y_1 = y \) - \( y_2 = 2π - y \) ### d) cos(б) = 0 - 0,3 1. Hier scheint ein Schreibfehler vorzuliegen, da "0 - 0,3" nicht klar ist. Ich nehme an, dass du cos(б) = -0,3 meinst. 2. Bestimme den ersten Winkel б, für den der Kosinus -0,3 ist. Dies geschieht mit der Umkehrfunktion arccos. 3. Berechne: \( б = \arccos(-0,3) \). 4. Da der Kosinus im zweiten und dritten Quadranten negativ ist, gibt es zwei Lösungen: - \( б_1 = π - б \) (für den zweiten Quadranten) - \( б_2 = π + |б| \) (für den dritten Quadranten) ### Zusammenfassung der Lösungen: - a) \( a_1, a_2 \) - b) \( B_1, B_2 \) - c) \( y_1, y_2 \) - d) \( б_1, б_2 \) Die genauen Werte können mit einem Taschenrechner oder einer mathematischen Software ermittelt werden.

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = 3 \cos(x) - 2 \) kann mit den Ableitungsregeln berechnet werden. Die Ableitung der Kosinusfunktion \( \cos(x) \) ist \( -\sin(x) \). Daher ergibt sich: \[ f'(x) = 3 \cdot (-\sin(x)) - 0 \] \[ f'(x) = -3 \sin(x) \] Die Ableitung von \( f(x) = 3 \cos(x) - 2 \) ist also \( f'(x) = -3 \sin(x) \).

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = 3 \cos(x) \) ist \( f'(x) = -3 \sin(x) \).

Der Cosinus von \(2 \cdot \pi\) ergibt 1.

Der Cosinus von π (Pi) ergibt -1.

Um die Konstanten \( a \) und \( b \) in der Funktion \( y = a \cdot \cos(bx) \) zu bestimmen, sodass die maximale Differenz der Funktionswerte 4 und der Abstand der Nullstellen 10 beträgt, gehen wir wie folgt vor: 1. **Maximale Differenz der Funktionswerte:** Die maximale Differenz der Funktionswerte einer Kosinusfunktion \( y = a \cdot \cos(bx) \) ist \( 2a \). Diese Differenz soll 4 betragen: \[ 2a = 4 \implies a = 2 \] 2. **Abstand der Nullstellen:** Die Nullstellen der Funktion \( y = a \cdot \cos(bx) \) treten bei \( bx = \frac{\pi}{2} + k\pi \) auf, wobei \( k \) eine ganze Zahl ist. Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen ist daher: \[ \Delta x = \frac{\pi}{b} \] Dieser Abstand soll 10 betragen: \[ \frac{\pi}{b} = 10 \implies b = \frac{\pi}{10} \] Zusammengefasst sind die Konstanten: \[ a = 2 \quad \text{und} \quad b = \frac{\pi}{10} \] Die Funktion lautet also: \[ y = 2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{10}x\right) \]

Die Gleichung \(\sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)\) ist nur für bestimmte Werte von \(\alpha\) wahr. Um diese Werte zu finden, kann man die Identität \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\) verwenden. Setzt man \(\sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)\) in diese Identität ein, erhält man: \[ \sin^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 \] \[ 2\sin^2(\alpha) = 1 \] \[ \sin^2(\alpha) = \frac{1}{2} \] \[ \sin(\alpha) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \] Da \(\sin(\alpha) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\), folgt daraus, dass \(\alpha\) die Werte \(\frac{\pi}{4} + k\pi\) (für \(k \in \mathbb{Z}\)) annehmen kann. Das bedeutet, dass \(\alpha\) entweder \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{3\pi}{4}\), \(\frac{5\pi}{4}\), \(\frac{7\pi}{4}\) usw. sein kann.

Wenn \(\cos^2(\alpha) = \cos(\alpha)\), dann kann diese Gleichung durch Umformung gelöst werden: 1. \(\cos^2(\alpha) - \cos(\alpha) = 0\) 2. \(\cos(\alpha) (\cos(\alpha) - 1) = 0\) Diese Gleichung hat zwei Lösungen: 1. \(\cos(\alpha) = 0\) 2. \(\cos(\alpha) = 1\) Für \(\cos(\alpha) = 0\) sind die Lösungen: \[ \alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{für } k \in \mathbb{Z} \] Für \(\cos(\alpha) = 1\) sind die Lösungen: \[ \alpha = 2k\pi \quad \text{für } k \in \mathbb{Z} \] Das bedeutet, dass \(\alpha\) entweder ein ungerades Vielfaches von \(\frac{\pi}{2}\) oder ein ganzzahliges Vielfaches von \(2\pi\) sein muss.

Um die Konstanten \( a \) und \( b \) in der Funktion \( y = a \cos(bx) \) zu bestimmen, sodass die maximale Differenz der Funktionswerte 4 und der Abstand der Nullstellen 10 beträgt, gehen wir wie folgt vor: 1. **Maximale Differenz der Funktionswerte:** Die maximale Differenz der Funktionswerte einer Kosinusfunktion \( y = a \cos(bx) \) ist \( 2a \), da die Kosinusfunktion zwischen -1 und 1 schwankt. Daher muss gelten: \[ 2a = 4 \implies a = 2 \] 2. **Abstand der Nullstellen:** Die Nullstellen der Funktion \( y = a \cos(bx) \) treten auf, wenn \( \cos(bx) = 0 \). Die Kosinusfunktion hat Nullstellen bei \( x = \frac{\pi}{2b} + k\frac{\pi}{b} \) für \( k \in \mathbb{Z} \). Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen ist daher: \[ \frac{\pi}{b} \] Es wird gefordert, dass dieser Abstand 10 beträgt: \[ \frac{\pi}{b} = 10 \implies b = \frac{\pi}{10} \] Zusammengefasst sind die Konstanten: \[ a = 2 \quad \text{und} \quad b = \frac{\pi}{10} \] Die Funktion lautet somit: \[ y = 2 \cos\left(\frac{\pi}{10}x\right) \]