2 Fragen zu Cosinusfunktion

Um die Konstanten \( a \) und \( b \) in der Funktion \( y = a \cdot \cos(bx) \) zu bestimmen, sodass die maximale Differenz der Funktionswerte 4 und der Abstand der Nullstellen 10 beträgt, gehen wir wie folgt vor: 1. **Maximale Differenz der Funktionswerte:** Die maximale Differenz der Funktionswerte einer Kosinusfunktion \( y = a \cdot \cos(bx) \) ist \( 2a \). Diese Differenz soll 4 betragen: \[ 2a = 4 \implies a = 2 \] 2. **Abstand der Nullstellen:** Die Nullstellen der Funktion \( y = a \cdot \cos(bx) \) treten bei \( bx = \frac{\pi}{2} + k\pi \) auf, wobei \( k \) eine ganze Zahl ist. Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen ist daher: \[ \Delta x = \frac{\pi}{b} \] Dieser Abstand soll 10 betragen: \[ \frac{\pi}{b} = 10 \implies b = \frac{\pi}{10} \] Zusammengefasst sind die Konstanten: \[ a = 2 \quad \text{und} \quad b = \frac{\pi}{10} \] Die Funktion lautet also: \[ y = 2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{10}x\right) \]

Um die Konstanten \( a \) und \( b \) in der Funktion \( y = a \cos(bx) \) zu bestimmen, sodass die maximale Differenz der Funktionswerte 4 und der Abstand der Nullstellen 10 beträgt, gehen wir wie folgt vor: 1. **Maximale Differenz der Funktionswerte:** Die maximale Differenz der Funktionswerte einer Kosinusfunktion \( y = a \cos(bx) \) ist \( 2a \), da die Kosinusfunktion zwischen -1 und 1 schwankt. Daher muss gelten: \[ 2a = 4 \implies a = 2 \] 2. **Abstand der Nullstellen:** Die Nullstellen der Funktion \( y = a \cos(bx) \) treten auf, wenn \( \cos(bx) = 0 \). Die Kosinusfunktion hat Nullstellen bei \( x = \frac{\pi}{2b} + k\frac{\pi}{b} \) für \( k \in \mathbb{Z} \). Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen ist daher: \[ \frac{\pi}{b} \] Es wird gefordert, dass dieser Abstand 10 beträgt: \[ \frac{\pi}{b} = 10 \implies b = \frac{\pi}{10} \] Zusammengefasst sind die Konstanten: \[ a = 2 \quad \text{und} \quad b = \frac{\pi}{10} \] Die Funktion lautet somit: \[ y = 2 \cos\left(\frac{\pi}{10}x\right) \]