5 Fragen zu Definitionsbereich

Um den maximalen Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x^4 - 5x^2 + 4} \) zu bestimmen, müssen wir die Nullstellen des Nenners finden, da die Funktion nur dort definiert ist, wo der Nenner nicht null ist. 1. **Bestimmung der Nullstellen des Nenners:** Der Nenner ist \( x^4 - 5x^2 + 4 \). Um die Nullstellen zu finden, setzen wir den Nenner gleich null: \[ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \] Wir setzen \( y = x^2 \), dann wird die Gleichung zu: \[ y^2 - 5y + 4 = 0 \] Diese quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden: \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Daraus ergeben sich die Lösungen: \[ y_1 = 4 \quad \text{und} \quad y_2 = 1 \] Da \( y = x^2 \), erhalten wir: \[ x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 \] \[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 \] Somit sind die Nullstellen des Nenners \( x = -2, -1, 1, 2 \). 2. **Maximaler Definitionsbereich:** Der maximale Definitionsbereich der Funktion ist also: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1, 1, 2\} \] 3. **Untersuchung der Definitionslücken auf Hebbarkeit:** Eine Definitionslücke ist hebbar, wenn der Zähler an dieser Stelle ebenfalls null ist. Wir prüfen die Nullstellen des Zählers \( x^2 - 5x + 4 \): \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] Diese Gleichung hat die Lösungen: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Daraus ergeben sich: \[ x_1 = 4 \quad \text{und} \quad x_2 = 1 \] Da \( x = 1 \) eine Nullstelle des Zählers ist und auch eine Nullstelle des Nenners, ist die Lücke bei \( x = 1 \) hebbar. Für \( x = -2 \) und \( x = -1 \) sowie \( x = 2 \) ist der Zähler nicht null, daher sind diese Lücken nicht hebbar. Zusammenfassend ist der maximale Definitionsbereich: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1, 1, 2\} \] Die Lücke bei \( x = 1 \) ist hebbar, während die Lücken bei \( x = -2, -1, 2 \) nicht hebbar sind.

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller Werte, für die die Funktion definiert ist. Hier sind einige allgemeine Regeln, um den Definitionsbereich zu bestimmen: 1. **Brüche**: Der Nenner darf nicht null sein. Beispiel: Bei \( f(x) = \frac{1}{x-2} \) darf \( x \) nicht 2 sein, also ist der Definitionsbereich \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \). 2. **Wurzeln**: Der Ausdruck unter der Wurzel muss nicht-negativ sein. Beispiel: Bei \( f(x) = \sqrt{x-3} \) muss \( x-3 \geq 0 \) sein, also ist der Definitionsbereich \( [3, \infty) \). 3. **Logarithmen**: Der Ausdruck innerhalb des Logarithmus muss positiv sein. Beispiel: Bei \( f(x) = \log(x-1) \) muss \( x-1 > 0 \) sein, also ist der Definitionsbereich \( (1, \infty) \). 4. **Trigonometrische Funktionen**: Bestimmte trigonometrische Funktionen haben Einschränkungen. Beispiel: Bei \( f(x) = \tan(x) \) darf \( x \) nicht \( \frac{\pi}{2} + k\pi \) (für \( k \in \mathbb{Z} \)) sein, da der Tangens an diesen Stellen nicht definiert ist. 5. **Allgemeine Polynomfunktionen**: Diese sind für alle reellen Zahlen definiert. Beispiel: Bei \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \) ist der Definitionsbereich \( \mathbb{R} \). Um den Definitionsbereich einer spezifischen Funktion zu bestimmen, musst du die oben genannten Regeln auf die Funktion anwenden und alle Einschränkungen berücksichtigen.

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller Werte, die du in die Funktion einsetzen kannst, damit sie einen gültigen Wert liefert. Einfach gesagt, es sind alle möglichen Eingabewerte (x-Werte), für die die Funktion definiert ist. Zum Beispiel, bei der Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \) ist der Definitionsbereich alle reellen Zahlen außer \( x = 0 \), weil du durch Null nicht teilen kannst.

Der Wertebereich und der Definitionsbereich sind grundlegende Konzepte in der Mathematik, insbesondere in der Funktionentheorie. 1. **Definitionsbereich (auch: Definitionsmenge)**: - Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller möglichen Eingabewerte (x-Werte), für die die Funktion definiert ist. - Beispiel: Für die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \) ist der Definitionsbereich alle reellen Zahlen außer 0, da die Division durch 0 nicht definiert ist. 2. **Wertebereich (auch: Wertemenge oder Bildmenge)**: - Der Wertebereich einer Funktion ist die Menge aller möglichen Ausgabewerte (y-Werte), die die Funktion annehmen kann. - Beispiel: Für die Funktion \( f(x) = x^2 \) ist der Wertebereich alle nicht-negativen reellen Zahlen, da das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ ist. Zusammengefasst: - Der **Definitionsbereich** gibt an, welche Werte in die Funktion eingegeben werden dürfen. - Der **Wertebereich** gibt an, welche Werte als Ergebnis der Funktion herauskommen können.

Der Definitionsbereich der Sinusfunktion, also der Funktion \( \sin(x) \), umfasst alle reellen Zahlen. Mathematisch ausgedrückt ist der Definitionsbereich \( \mathbb{R} \). Das bedeutet, dass du für \( x \) jeden beliebigen reellen Wert einsetzen kannst.