2 Fragen zu Differenzierbarkeit

Die Funktion \( f(x) \) ist definiert als: \[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{für } x < 0 \\ x^ & \text{ } x \geq 0 \end{cases} \] Um zu überprüfen, ob \( f(x) \) an der Stelle \( x_0 = 0 \) differenzierbar ist, müssen wir die Definition der Differenzierbarkeit betrachten. Eine Funktion ist an einer Stelle differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} \] Zuerst berechnen wir \( f(0) \): \[ f(0) = 0^2 = 0 \] Nun betrachten wir den Grenzwert des Differenzenquotienten für \( h \) von beiden Seiten: 1. **Für \( h \to 0^+ \) (von rechts)**: Hier ist \( h \geq 0 \), also gilt \( f(h) = h^2 \). \[ \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h2 - 0}{h} = \lim_{h \to0^+} h = 0 ] 2. **Für \( h \to 0^- \) (von links)**: Hier ist \( h < 0 \), also gilt \( f(h) = 1 \). \[ \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1}{h} \] Dieser Grenzwert geht gegen \( -\infty \), da \( h \) negativ ist und sich \( h \) der Null nähert. Da die beiden einseitigen Grenzwerte unterschiedlich sind (der Grenzwert von rechts ist 0 und der von links ist \( -\infty \)), existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Daher ist die Funktion \( f(x) \) an der Stelle \( x_0 = 0 \) nicht differenzierbar.

Ja, es gibt eine solche Funktion. Ein Beispiel ist die Funktion \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definiert durch: \[ g(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text{für } x \neq 0, \\ 0 & \text{für } x = 0. \end{cases} \] Diese Funktion ist im Nullpunkt differenzierbar und damit auch stetig, aber sie ist in keinem anderen Punkt stetig. Um dies zu zeigen: 1. **Stetigkeit im Nullpunkt:** \[ \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 = g(0). \] Da der Grenzwert von \( g(x) \) bei \( x \to 0 \) gleich dem Funktionswert \( g(0) \) ist, ist \( g \) im Nullpunkt stetig. 2. **Differenzierbarkeit im Nullpunkt:** Der Differenzenquotient für \( g \) im Nullpunkt ist: \[ \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right). \] Da \( \sin\left(\frac{1}{h}\right) \) zwischen -1 und 1 schwankt, ergibt sich: \[ -|h| \leq h \sin\left(\frac{1}{h}\right) \leq |h|. \] Da \( \lim_{h \to 0} |h| = 0 \), folgt aus dem Sandwich-Theorem: \[ \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0. \] Somit ist \( g \) im Nullpunkt differenzierbar mit \( g'(0) = 0 \). 3. **Unstetigkeit an anderen Punkten:** Für \( x \neq 0 \) oszilliert \( \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) unbeschränkt zwischen -1 und 1, was bedeutet, dass \( g(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) keine eindeutigen Grenzwerte hat, wenn man sich \( x \) nähert. Daher ist \( g \) in keinem anderen Punkt stetig. Diese Funktion erfüllt also die Bedingungen: Sie ist im Nullpunkt differenzierbar und damit auch stetig, aber in keinem anderen Punkt stetig.