21 Fragen zu Exponenten

Um den Ausdruck \(\frac{a^{0,5k + 3}}{a^{3 - 0,5k}}\) zu vereinfachen, kannst du die Regel für das Teilen von Potenzen mit der gleichen Basis verwenden, die besagt, dass \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}\) gilt. 1. Setze die Exponenten in die Formel ein: \[ \frac{a^{0,5k + 3}}{a^{3 - 0,5k}} = a^{(0,5k + 3) - (3 - 0,5k)} ] 2. Vereinfache den Exponenten: \[ (0,5k + 3) - (3 - 0,5k) = 0,5k + 3 - 3 + 0,5k = 1k = k \] Somit vereinfacht sich der Ausdruck zu: \[ a^k \]

Die Gleichung \( \frac{5^x}{5^{-x}} \) kanninfacht werden, indem man die Regel das Teilen von Pot mit der gleichen Basiswendet. Diese Regel bes, dass \( \frac{a^}{a^n} = a^{m-n} \). In diesem Fall ergibt sich: \[ \frac{5^x}{5^{-x}} = 5^{x - (-x)} = 5^{x + x} = 52x} \] Die vereinfachte Form ist also \( 5^{2x} \).

Um den Ausdruck \((z^{-3})^{-2}\) zu vereinfachen, kannst du die Regel für Potenzen verwenden, die besagt, dass \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Angewendet auf deinen Ausdruck ergibt sich: \[ (z^{-3})^{-2} = z^{-3 \cdot -2} = z^{6} \] Der vereinfachte Ausdruck ist also \(z^{6}\).

Um den Ausdruck \( \frac{x^ \cdot x^{-4}}{x^4} \) zu vereinfachen, kannst du die Potenzgesetze anwenden. 1. Zuerst multiplizierst du die Zähler: \[ x^4 \cdot x^{-4} = x^{4 + (-4)} = x^0 = 1 \] 2. Jetzt sieht der Ausdruck so aus: \[ \frac{1}{x^4} \] Das Ergebnis der Vereinfachung ist also: \[ \frac{1}{x^4} \]

Um den Termwert von \( 3^{-4} \) zu berechnen, kannst du die Regel für negative Exponenten verwenden. Ein negativer Exponent bedeutet, dass der Ausdruck als Kehrwert geschrieben werden kann. Das heißt: \[ 3^{-4} = \frac{1}{3^4} \] Nun berechnen wir \( 3^4 \): \[ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \] Setzen wir das in den Kehrwert ein: \[ 3^{-4} = \frac{1}{81} \] Der Termwert von \( 3^{-4} \) ist also \( \frac{1}{81} \).

Um den Termwert von \( 5^{-2} \) zu berechnen, kannst du den negativen Exponenten umkehren. Ein negativer Exponent bedeutet, dass du den Kehrwert der Basis nimmst. Das heißt: \[ 5^{-2} = \frac{1}{5^2} \] Nun berechnest du \( 5^2 \): \[ 5^2 = 25 \] Setze das in die Gleichung ein: \[ 5^{-2} = \frac{1}{25} \] Der Termwert von \( 5^{-2} \) ist also \( \frac{1}{25} \) oder 0,04.

Der Ausdruck \( 5^{-2} \) kann ohne negative Exponenten geschrieben werden als \( \frac{1}{5^2} \). Nun berechnen wir \( 5^2 \): \[ 5^2 = 25 \] Daher ist: \[ 5^{-2} = \frac{1}{25} \] Das Ergebnis ist also \( \frac{1}{25} \).

\( 2^{-3} \) ist gleich \( \frac{1}{2^3} \). Das bedeutet, dass \( 2^3 = 8 \), also ist \( 2^{-3} = \frac{1}{8} \) oder 0,125.

Die Berechnung von \(-5^{-2}\) ergibt nicht \(-0,04\). Der Ausdruck \(-5^{-2}\) kann wie folgt interpretiert werden: \[ -5^{-2} = -\frac{1}{5^2} = -\frac{1}{25} = -0,04 \] Das Ergebnis ist also korrekt, dass \(-5^{-2} = -0,04\).

Um den Ausdruck \( \frac{25^7 \cdot 4^7}{100^} \) zu vereinfachen, können wir die Potenzgesetze anwenden. Zuerst schreiben wir \( 100 \) als \( 10^2 \): \[ 100^3 = (10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 \] Nun können wir \( 25 \) und \( 4 \) ebenfalls umschreiben: \[ 25 = 5^2 \quad \text{und} \quad 4 = 2^2 \] Daher gilt: \[ 25^7 = (5^2)^7 = 5^{2 \cdot 7} = 5^{14} \] \[ 4^7 = (2^2)^7 = 2^{2 \cdot 7} = 2^{14} \] Setzen wir das in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ \frac{25^7 \cdot 4^7}{100^3} = \frac{5^{14} \cdot 2^{14}}{10^6} \] Da \( 10 = 2 \cdot 5 \), können wir \( 10^6 \) als \( (2 \cdot 5)^6 = 2^6 \cdot 5^6 \) schreiben. Damit wird der Ausdruck: \[ \frac{5^{14} \cdot 2^{14}}{2^6 \cdot 5^6} \] Jetzt können wir die Potenzen mit der gleichen Basis subtrahieren: \[ = 5^{14-6} \cdot 2^{14-6} = 5^8 \cdot 2^8 \] Das Ergebnis kann auch als: \[ (5 \cdot 2)^8 = 10^8 \] Zusammenfassend ist die vereinfachte Form des Ausdrucks: \[ 10^8 \]

Die Vereinfachung von \((x^2)^3\) erfolgt durch die Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). In diesem Fall: \[ (x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6 \] Das Ergebnis ist also \(x^6\).

Um \(10^{-5}\) als Bruch aufzuschreiben, kannst du die Regel verwenden, dass eine negative Potenz den Kehrwert der positiven Potenz darstellt. Das bedeutet: \[ 10^{-5} = \frac{1}{10^5} \] Da \(10^5 = 100000\), kannst du das weiter vereinfachen zu: \[ 10^{-5} = \frac{1}{100000} \] Somit ist \(10^{-5}\) als Bruch \(\frac{1}{100000}\).

Die Multiplikationsregel für Exponenten besagt, dass bei der Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis die Exponenten addiert werden. Diese Regel lautet: \[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \] Das Vertauschen von Exponenten bezieht sich jedoch auf eine andere Regel, die nur unter bestimmten Bedingungen gilt. Wenn du zwei Potenzen mit unterschiedlichen Basen und Exponenten hast, kannst du die Exponenten nicht einfach vertauschen. Zum Beispiel: \[ a^m \cdot b^n \neq a^n \cdot b^m \] Die Exponenten können nur vertauscht werden, wenn die Basen gleich sind und die Potenzen multipliziert werden. Ein Beispiel, bei dem die Exponenten vertauscht werden können, ist: \[ (a^m)^n = (a^n)^m = a^{mn} \] Hier sind die Basen gleich und die Potenzen werden potenziert, nicht multipliziert. Zusammengefasst: Die Multiplikationsregel für Exponenten erlaubt das Addieren der Exponenten bei gleicher Basis, aber das Vertauschen der Exponenten ist nur unter bestimmten Bedingungen möglich, wie bei der Potenzierung von Potenzen.

Nein, \((-z^5)^4\) ist nicht gleich \((-z^4)^5\). Hier ist der Grund: \[ (-z^5)^4 = (-1 \cdot z^5)^4 = (-1)^4 \cdot (z^5)^4 = 1 \cdot z^{20} = z^{20} \] \[ (-z^4)^5 = (-1 \cdot z^4)^5 = (-1)^5 \cdot (z^4)^5 = -1 \cdot z^{20} = -z^{20} \] Also: \[ (-z^5)^4 = z^{20} \] \[ (-z^4)^5 = -z^{20} \] Daher sind \((-z^5)^4\) und \((-z^4)^5\) nicht gleich.

Um \( a^8 = 2,7585 \times 10^{-15} \) zu lösen, kannst du die achte Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung ziehen. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess: 1. Schreibe die Gleichung auf: \[ a^8 = 2,7585 \times 10^{-15} \] 2. Ziehe die achte Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung: \[ a = \sqrt[8]{2,7585 \times 10^{-15}} \] 3. Berechne die achte Wurzel des numerischen Teils: \[ \sqrt[8]{2,7585} \] 4. Berechne die achte Wurzel des Exponentialteils: \[ \sqrt[8]{10^{-15}} = 10^{-15/8} = 10^{-1,875} \] 5. Multipliziere die Ergebnisse der beiden Wurzeln: \[ a = \sqrt[8]{2,7585} \times 10^{-1,875} \] Um den numerischen Teil zu berechnen, kannst du einen wissenschaftlichen Taschenrechner oder eine Software wie WolframAlpha verwenden. Das Ergebnis ist ungefähr: \[ \sqrt[8]{2,7585} \approx 1,1447 \] Daher ist: \[ a \approx 1,1447 \times 10^{-1,875} \] Das ergibt: \[ a \approx 1,1447 \times 0,0133 \approx 0,0152 \] Also ist \( a \approx 0,0152 \).