3 Fragen zu Exponentialgleichung

Um die Exponentialgleichung \( 16^{x+16} 10 \cdot4^x \) zu lösen, können wir die Basis umformen. Zunächst schreiben wir \( 16 \) und \( 4 \) als Potenzen von \( 2 \): \[ 16 = 2^4 \quad \text{und} \quad 4 = 2^2 \] Somit wird die Gleichung: \[ (2^4)^{x+16} = 10 \cdot (2^2)^x \] Das vereinfacht sich zu: \[ 2^{4(x+16)} = 10 \cdot 2^{2x} \] Nun können wir die Exponenten auf der linken Seite zusammenfassen: \[ 2^{4x + 64} = 10 \cdot 2^{2x} \] Um die Gleichung zu vereinfachen, teilen wir beide Seiten durch \( 2^{2x} \): \[ 2^{4x + 64 - 2x} = 10 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 2^{2x + 64} = 10 \] Nun wenden wir den Logarithmus an, um \( x \) zu isolieren: \[ 2x + 64 = \log_2(10) \] Daraus folgt: \[ 2x = \log_2(10) - 64 \] Und schließlich: \[ x = \frac{\log_2(10) - 64}{2} \] Um \( x \) zu berechnen, kannst du den Wert von \( \log_2(10) \) verwenden, der ungefähr \( 3.32193 \) beträgt: \[ x \approx \frac{3.32193 - 64}{2} \approx \frac{-60.67807}{2} \approx -30.339035 \] Da es sich um eine Exponentialgleichung handelt, gibt es in diesem Fall nur eine Lösung für \( x \). Daher ist \( x_1 \approx -30.34 \) und es gibt kein \( x_2 \).

Um die Lösungsmengen der gegebenen Gleichungen zu bestimmen, müssen die Gleichungen nach \( x \) aufgelöst werden. Hier sind die Schritte für jede Gleichung: 1. \( x^{0,25} = 3 \) \[ x = 3^{4} = 81 \] Lösung: \( x = 81 \) 2. \( x^{\frac{4}{3}} = 16 \) \[ x = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \] Lösung: \( x = 8 \) 3. \( x^{2,5} = 32 \) \[ x = 32^{\frac{1}{2,5}} = 32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4 \] Lösung: \( x = 4) 4. \( x^{-\frac{3}{2}} = 8 \) \[ x^{-\frac{3}{2}} = 8 \implies x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{8} \] \[ x = \left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(2^{-3}\right)^{\frac{2}{3}} = 2^{-2} = \frac{1}{4} \] Lösung: \( x = \frac{1}{4} \) 5. \( x^{-0,75} = \frac{1}{8} \) \[ x^{-0,75} = \frac{1}{8} \implies x^{0,75} = 8 \] \[ x = 8^{\frac{1}{0,75}} = 8^{\frac{4}{3}} = (2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^4 = 16 \] Lösung: \( x = 16 \) Zusammengefasst sind die Lösungsmengen: 1. \( x = 81 \) 2. \( x = 8 \) 3. \( x = 4 \) 4. \( x = \frac{1}{4} \) 5. \( x = 16 \)

Um die Gleichung \(2^{(x+1)} + 2^x = 3^{(x+1)} + 3^\) zu vereinfachen, kannst du die Potenzen umschreiben und dann versuchen, die Gleichung zu lösen. Hier sind die Schritte: 1. Schreibe die Potenzen um: \[ 2^{(x+1)} = 2 \cdot 2^x \quad \text{und} \quad 3^{(x+1)} = 3 \cdot 3^x \] 2. Setze diese Umformungen in die Gleichung ein: \[ 2 \cdot 2^x + 2^x = 3 \cdot 3^x + 3^x \] 3. Faktoriere \(2^x\) und \(3^x\) aus: \[ 2^x (2 + 1) = 3^x (3 + 1) \] 4. Vereinfache die Ausdrücke in den Klammern: \[ 2^x \cdot 3 = 3^x \cdot 4 \] 5. Teile beide Seiten der Gleichung durch \(2^x\): \[ 3 = 4 \left(\frac{3}{2}\right)^x \] 6. Teile beide Seiten der Gleichung durch 4: \[ \frac{3}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^x \] 7. Schreibe die Gleichung in logarithmischer Form, um \(x\) zu isolieren: \[ x = \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{4}\right) \] 8. Verwende die Eigenschaft des Logarithmus, dass \(\log_b(a) = \frac{\log(a)}{\log(b)}\): \[ x = \frac{\log \left(\frac{3}{4}\right)}{\log \left(\frac{3}{2}\right)} \] Das ist die vereinfachte Form der Lösung für \(x\).