31 Fragen zu Faktorisierung

Die Primfaktorzerlegung von 72 ist 2^3 * 3^2. Das bedeutet, dass 72 in die Primfaktoren 2 und 3 zerlegt werden kann, wobei 2 dreimal und 3 zweimal vorkommt.

Die Primfaktorzerlegung von 60 ist 2 × 2 × 3 × 5, oder in Exponentialform: \(2^2 \times 3^1 \times 5^1\).

Um den Ausdruck \((\frac{1}{2} + n)(\frac{1}{2} - n)\) zu vereinfachen, kannst du die Formel für die Differenz der Quadr verwenden, die lautet: \[ (a + b)(a - b) = a^2 -^2 \] In diesem Fall ist \(a = \frac{1}{2}\) und \(b = n\). Setze die Werte in die Formel ein: \[ (\frac{1}{2})^2 - n^2 = \frac{1}{4} - n^2 \] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[ \frac{1}{4} - n^2 \]

Der Shor-Algorithmus ist ein quantenmechanischer Algorithmus, der entwickelt wurde, um große Zahlen effizient in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Dies ist besonders relevant für die Kryptographie, da viele Verschlüsselungsverfahren auf der Schwierigkeit der Faktorisierung großer Zahlen basieren. Hier sind die grundlegenden Schritte, wie der Shor-Algorithmus funktioniert: 1. **Zufällige Auswahl**: Wähle eine große Zahl \( N \), die faktorisieren werden soll, und wähle zufällig eine Zahl \( a \), die kleiner als \( N \) ist. 2. **Prüfung auf Teilbarkeit**: Überprüfe, ob \( a \) ein Teiler von \( N \) ist. Wenn ja, hast du einen Faktor gefunden. Wenn nicht, fahre fort. 3. **Bestimmung der Ordnung**: Berechne die Ordnung \( r \) von \( a \) modulo \( N \). Die Ordnung ist die kleinste positive ganze Zahl \( r \), für die gilt \( a^r \equiv 1 \mod N \). Dies ist der schwierigste Teil des Algorithmus und wird mithilfe eines Quantencomputers durchgeführt, typischerweise durch die Anwendung von Quanten-Fourier-Transformationen. 4. **Gerade oder ungerade Ordnung**: Überprüfe, ob \( r \) gerade ist. Wenn \( r \) ungerade ist, wähle eine andere Zahl \( a \) und wiederhole den Prozess. Wenn \( r \) gerade ist, fahre fort. 5. **Berechnung der Faktoren**: Berechne \( x = a^{r/2} \mod N \). Wenn \( x \) nicht gleich 1 oder \( N-1 \) ist, dann sind die Faktoren von \( N \) gegeben durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von \( x-1 \) und \( N \) sowie von \( x+1 \) und \( N \). 6. **Wiederholung**: Wenn die Faktoren nicht gefunden werden, wiederhole den Prozess mit einer anderen Wahl von \( a \). Der Shor-Algorithmus zeigt, dass Quantencomputer in der Lage sind, Probleme zu lösen, die für klassische Computer sehr zeitaufwendig sind, was erhebliche Auswirkungen auf die Sicherheit von kryptographischen Systemen hat.

Um den Ausdruck \((2x+3)(x+9)\) zu multiplizieren, verwendest du die distributive Eigenschaft (auch bekannt als das Ausmultiplizieren). Hier ist die Schritt-für-Schritt-Lösung: 1. Multipliziere \(2x\) mit beiden Termen in der zweiten Klammer: \[ 2x \cdot x + 2x \cdot 9 = 2x^2 + 18x \] 2. Multipliziere \(3\) mit beiden Termen in der zweiten Klammer: \[ 3 \cdot x + 3 \cdot 9 = 3x + 27 \] 3. Füge alle Terme zusammen: \[ 2x^2 + 18x + 3x + 27 \] 4. Fasse die ähnlichen Terme zusammen: \[ 2x^2 + (18x + 3x) + 27 = 2x^2 + 21x + 27 \] Das Endergebnis ist: \[ 2x^2 + 21x + 27 \]

Um die Funktion \( f(x) = -(x-2)^2 - 1 \) in die faktorisierte Form umzuwandeln, folge diesen Schritten: 1. Zuerst erkenne, dass die Funktion bereits eine quadratische Form hat. Wir können sie umformen, um die faktorisierte Form zu finden. 2. Schreibe die Funktion um: \[ f(x) = -((x-2)^2 + 1) \] 3. Jetzt ist es wichtig zu beachten, dass \( (x-2)^2 + 1 \) nicht weiter faktorisiert werden kann, da es immer positiv ist (es hat keine Nullstellen). 4. Die faktorisierte Form der Funktion bleibt also: \[ f(x) = -(x-2)^2 - 1 \] In diesem Fall ist die Funktion nicht in eine einfachere faktorisierte Form umwandelbar, da sie bereits in einer kompakten Form vorliegt.

Um den Ausdruck \((5x + 3y)(x - 6y)\) auszuklammern, multiplizieren wir die beiden Terme miteinander. Das Ergebnis ist: \[ 5x \cdot x + 5x \cdot (-6y) + 3y \cdot x + 3y \cdot (-6y) \] Das vereinfacht sich zu: \[ 5x^2 - 30xy + 3xy - 18y^2 \] Nun fassen wir die ähnlichen Terme zusammen: \[ 5x^2 - 27xy - 18y^2 \] Das ist das Endergebnis.

Um den Ausdruck \((4-6p) \times (q+5p)\) auszuklammern, multiplizieren wir die beiden Terme: 1. Multipliziere \(4\) mit \(q\) und \(5p\): \[ 4q + 20p \] 2. Multipliziere \(-6p\) mit \(q\) und \(5p\): \[ -6pq - 30p^2 \] Jetzt fügen wir die beiden Ergebnisse zusammen: \[ 4q + 20p - 6pq - 30p^2 \] Der vollständig ausgeklammerte Ausdruck lautet also: \[ 4q - 6pq + 20p - 30p^2 \]

Um den angegebenen Faktor aus dem Ausdruck \( 18x^2 - 32x \) zu verfeinern, kannst du zunächst den größten gemeinsamen Faktor (GGF) der beiden Terme finden. 1. Bestimme den GGF von \( 18 \) und \( 32 \). Der GGF ist \( 2 \). 2. Bestimme den GGF der Variablen \( x^2 \) und \( x \). Der GGF ist \( x \). Somit ist der gesamte GGF \( 2x \). Jetzt kannst du den Ausdruck faktorisieren: \[ 18x^2 - 32x = 2x(9x - 16) \] Der faktorisierte Ausdruck ist also \( 2x(9x - 16) \).

Um die Gleichung \(4x(x-4)=0\) zu lösen, setzt man Faktor gleich null: 1. \(4x 0\) - Daraus folgt \(x = 0\). 2. \(x - 4 = 0\) - Daraus folgt \(x = 4\). Die Lösungen der Gleichung sind also \(x = 0\) und \(x = 4\).

Um den Ausdruck -6(3a - 2b + 8c zu vereinfachen, multiplizierst du -6 mit jedem Term innerhalb der Klammern: -6 * 3a = -18a -6 * (-2b) = +12b -6 * 8c = -48c Somit ergibt sich: -6(3a - 2b + 8c) = -18a + 12b - 48c.

Um den Ausdruck \((2x-3)(2x+4)\) zu multiplizieren, verwendest du dieive Eigenschaft (auch bekannt als FOIL-Methode für binomische Produkte). 1. Multipliziere die ersten Terme: \(2x \cdot 2x = 4x^2\) 2. Multipliziere die äußeren Terme: \(2x \cdot 4 = 8x\) 3. Multipliziere die inneren Terme: \(-3 \cdot 2x = -6x\) 4. Multipliziere die letzten Terme: \(-3 \cdot 4 = -12\) Jetzt addierst du die Ergebnisse: \[ 4x^2 + 8x - 6x - 12 \] Fasse die ähnlichen Terme zusammen: \[ 4x^2 + 2x - 12 \] Das Endergebnis ist also: \[ 4x^2 + 2x - 12 \]

Um den Ausdruck \((2x-3)(2x \times 4)\) zu vereinfachen, folge diesen Schritten: 1. Berechne zuerst \(2x \times 4\): \[ 2x \times 4 = 8x \] 2. Setze das Ergebnis in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ (2x - 3)(8x) \] 3. Wende das Distributivgesetz an: \[ 2x \times 8x - 3 \times 8x = 16x^2 - 24x \] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[ 16x^2 - 24x \]

Um den Ausdruck \((x-y)(x-1)\) zu vereinfachen, kannst du die distributive Eigenschaft anwenden. Das bedeutet, dass du jeden Term im ersten Faktor mit jedem Term im zweiten Faktor multiplizierst: \[ (x-y)(x-1) = x(x-1) - y(x-1) \] Jetzt multiplizieren wir die Terme aus: 1. \(x(x-1) = x^2 - x\) 2. \(-y(x-1) = -yx + y\) Setze die beiden Ergebnisse zusammen: \[ x^2 - x - yx + y \] Das ergibt: \[ x^2 - (1+y)x + y \] Das ist die vereinfachte Form des Ausdrucks \((x-y)(x-1)\).

Um den Ausdruck \((2x-4)(2x+6)\) zu multiplizieren, verwendest du die distributive Eigenschaft (auch bekannt als FOIL-Methode für binomische Produkte). 1. Multipliziere die ersten Terme: \(2x \cdot 2x = 4x^2\) 2. Multipliziere die äußeren Terme: \(2x \cdot 6 = 12x\) 3. Multipliziere die inneren Terme: \(-4 \cdot 2x = -8x\) 4. Multipliziere die letzten Terme: \(-4 \cdot 6 = -24\) Jetzt addierst du die Ergebnisse: \[ 4x^2 + 12x - 8x - 24 \] Fasse die ähnlichen Terme zusammen: \[ 4x^2 + (12x - 8x) - 24 = 4x^2 + 4x - 24 \] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[ 4x^2 + 4x - 24 \]