2 Fragen zu Fehlerquadratsumme

In der ANOVA (Analyse der Varianz) wird die Fehlerquadratsumme (Sum of Squares for Error, SSE) kleiner, wenn man einen weiteren Faktor hinzufügt, weil die zusätzliche Variable dazu beiträgt, mehr von der Gesamtvarianz der abhängigen Variable zu erklären. Hier ist der Grund dafür: 1. **Gesamtvarianz (Total Sum of Squares, SST)**: Dies ist die gesamte Varianz in den Daten, die sich aus der Summe der Quadrate der Abweichungen jedes Datenpunkts vom Gesamtmittelwert ergibt. 2. **Erklärte Varianz (Sum of Squares for Model, SSM)**: Dies ist die Varianz, die durch die erklärenden Faktoren (unabhängige Variablen) im Modell erklärt wird. 3. **Fehlervarianz (Sum of Squares for Error, SSE)**: Dies ist die Varianz, die nicht durch das Modell erklärt wird und als Fehler oder Residualvarianz bezeichnet wird. Die Beziehung zwischen diesen Komponenten ist: \[ \text{SST} = \text{SSM} + \text{SSE} \] Wenn du einen weiteren Faktor in das Modell aufnimmst, erhöht sich in der Regel die erklärte Varianz (SSM), weil das Modell nun mehr Informationen hat, um die Unterschiede in der abhängigen Variable zu erklären. Da die Gesamtvarianz (SST) konstant bleibt, muss die Fehlervarianz (SSE) entsprechend abnehmen, um die Gleichung auszugleichen. Zusammengefasst: Durch Hinzufügen eines weiteren Faktors wird mehr von der Gesamtvarianz durch das Modell erklärt, was die verbleibende Fehlervarianz reduziert.

Um zu bestimmen, ob es einen signifikanten Unterschied zwischen den beiden Trainingsmethoden auf einem Signifikanzniveau von 5% gibt, kann eine Varianzanalyse (ANOVA) durchgeführt werden. Hier sind die Schritte und Berechnungen, die notwendig sind: 1. **Fehlerquadratsumme (Sum of Squares for Error, SSE)**: - Berechne die Gesamtmittelwerte und die Mittelwerte jeder Gruppe. - Berechne die Quadratsummen innerhalb der Gruppen (SSE). 2. **Quadratsumme zwischen den Gruppen (Sum of Squares Between, SSB)**: - Berechne die Quadratsumme zwischen den Gruppen (SSB). 3. **Gesamtquadratsumme (Total Sum of Squares, SST)**: - SST = SSB + SSE 4. **Prüfgröße (F-Wert)**: - Berechne die mittlere Quadratsumme zwischen den Gruppen (MSB = SSB/dfB). - Berechne die mittlere Quadratsumme innerhalb der Gruppen (MSE = SSE/dfE). - Berechne den F-Wert (F = MSB/MSE). 5. **Kritischer F-Wert**: - Bestimme den kritischen F-Wert aus der F-Verteilungstabelle für das gegebene Signifikanzniveau (5%) und die entsprechenden Freiheitsgrade. Hier sind die Berechnungen im Detail: a. **Fehlerquadratsumme (SSE)**: - Mittelwert Methode 1: (10 + 8 + 6 + 12 + 9) / 5 = 9 - Mittelwert Methode 2: (4 + 3 + 6 + 5 + 8) / 5 = 5.2 - SSE = Σ (x_ij - x̄_i)² für jede Gruppe - SSE = (10-9)² + (8-9)² + (6-9)² + (12-9)² + (9-9)² + (4-.2)² + (3-5.2)² +6-5.2)² + (5-5.2)² + (8-5.2)² - SSE = 1 + 1 + 9 + 9 + 0 + 1.44 + 4.84 + 0.64 + 0.04 + 7.84 - SSE = 34.8 b. **Quadratsumme zwischen den Gruppen (SSB)**: - Gesamtmittelwert: (10 + 8 + 6 + 12 + 9 + 4 + 3 + 6 + 5 + 8) / 10 = 7.1 - SSB = n * Σ (x̄_i - x̄)² - SSB = 5 * ((9 - 7.1)² + (5.2 - 7.1)²) - SSB = 5 * (3.61 + 3.61) - SSB = 36.1 c. **Gesamtquadratsumme (SST)**: - SST = SSB + SSE - SST = 36.1 + 34.8 - SST = 70.9 d. **Prüfgröße (F-Wert)**: - dfB (Freiheitsgrade zwischen den Gruppen) = k - 1 = 2 - 1 = 1 - dfE (Freiheitsgrade innerhalb der Gruppen) = N - k = 10 - 2 = 8 - MSB = SSB / dfB = 36.1 / 1 = 36.1 - MSE = SSE / dfE = 34.8 / 8 = 4.35 - F = MSB / MSE = 36.1 / 4.35 = 8.29 e. **Kritischer F-Wert**: - Für ein Signifikanzniveau von 5% und dfB = 1 und dfE = 8, kann der kritische F-Wert aus einer F-Verteilungstabelle abgelesen werden. - Kritischer F-Wert ≈ 5.32 (abhängig von der genauen Tabelle). Da der berechnete F-Wert (8.29) größer ist als der kritische F-Wert (5.32), gibt es genügend Beweise, um auf einem Signifikanzniveau von 5% zu behaupten, dass es einen signifikanten Unterschied zwischen den beiden Trainingsmethoden gibt.