10 Fragen zu Ganzrationale

Ja, jede Potenzfunktion der Form \( f(x) = a \cdot x^n \) (wobei \( a \) eine Konstante und \( n \) eine ganze Zahl ist) ist eine ganzrationale Funktion. Ganzrationale Funktionen sind allgemein definiert als Funktionen, die durch Polynome dargestellt werden, und Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten erfüllen diese Definition. Funktionen mit nicht-ganzzahligen Exponenten oder negativen Exponenten sind hingegen keine ganzrationalen Funktionen.

Ja, eine ganzrationale Funktion zweiten Grades (Quadratische Funktion) kann weniger als zwei Nullstellen haben. Es gibt drei mögliche Szenarien: 1. **Zwei Nullstellen**: Wenn die Diskriminante (\(b^2 - 4ac\)) positiv ist, hat die quadratische Funktion zwei verschiedene Nullstellen. 2. **Eine Nullstelle**: Wenn die Diskriminante null ist, hat die quadratische Funktion genau eine doppelte Nullstelle (die Parabel berührt die x-Achse). 3. **Keine Nullstellen**: Wenn die Diskriminante negativ ist, hat die quadratische Funktion keine reellen Nullstellen (die Parabel liegt vollständig über oder unter der x-Achse). Die Diskriminante ist der Ausdruck \(b^2 - 4ac\) in der allgemeinen Form der quadratischen Funktion \(ax^2 + bx + c = 0\).

Die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion (Polynomfunktion) hängt vom Grad des Polynoms ab. Eine ganzrationale Funktion vom Grad \( n \) hat höchstens \( n \) Nullstellen. Das bedeutet, dass ein Polynom vom Grad 3 (also eine kubische Funktion) höchstens 3 Nullstellen haben kann, ein Polynom vom Grad 4 höchstens 4 Nullstellen, und so weiter.

Eine ganzrationale Funktion \( f(x) \) vom Grad \( n \) hat höchstens \( n-1 \) Extremstellen, da die Ableitung \( f'(x) \) eine ganzrationale Funktion vom Grad \( n-1 \) ist. Diese \( n-1 \) Extremstellen teilen die Funktion in höchstens \( n \) Intervalle, in denen die Funktion monoton ist. Für eine ganzrationale Funktion dritten Grades (\( n = 3 \)) ist die Ableitung eine quadratische Funktion zweiten Grades (\( n-1 = 2 \)), die höchstens zwei Nullstellen haben kann. Diese zwei Nullstellen teilen die Funktion in höchstens drei Intervalle, in denen die Funktion monoton ist. Daher besitzt eine ganzrationale Funktion dritten Grades höchstens drei Monotonieintervalle.

Ja, es gibt ganzrationale Funktionen dritten Grades (kubische Funktionen), die keine Nullstellen haben. Ein Beispiel dafür ist eine Funktion der Form \( f(x) = ax^3 + bx^ + cx + d \), bei der der Graph der Funktion keine x-Achse schneidet. Dies kann passieren, wenn die Diskriminante der kubischen Gleichung negativ ist und die Funktion keine reellen Wurzeln hat. Ein konkretes Beispiel wäre \( f(x) = x^3 + x^2 + x + 1 \).

Ja, es gibt ganzrationale Funktionen dritten Grades (auch kubische Funktionen genannt), die drei Nullstellen haben. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die allgemeine Form: \[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \] Wenn eine solche Funktion drei Nullstellen hat, bedeutet das, dass es drei Werte \( x_1, x_2 \) und \( x_3 \) gibt, für die \( f(x) = 0 \). Diese Funktion kann dann in der Form \[ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) \] geschrieben werden, wobei \( a \) eine Konstante ist (die nicht null ist). Die drei Nullstellen \( x_1, x_2 \) und \( x_3 \) können reell oder komplex sein. Wenn alle drei Nullstellen reell sind, schneidet der Graph der Funktion die x-Achse an drei verschiedenen Punkten.

Ja, es gibt ganzrationale Funktionen 2. Grades, die nur eine Nullstelle haben. Solche Funktionen haben eine doppelte Nullstelle, was bedeutet, dass der Graph der Funktion die x-Achse nur an einem Punkt berührt. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist: \[ f(x) = (x - 1)^2 \] Diese Funktion hat die Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) mit \( a = 1 \), \( b = -2 \) und \( c = 1 \). Die einzige Nullstelle dieser Funktion ist \( x = 1 \), da: \[ f(1) = (1 - 1)^2 = 0 \] Der Graph dieser Funktion berührt die x-Achse bei \( x = 1 \) und hat dort eine doppelte Nullstelle.

Eine ganzrationale Funktion hat eine Nullstelle bei \( x = -3 \), wenn \( x + 3 \) ein Faktor der Funktion ist. Das bedeutet, dass die Funktion \( f(x) \) die Form \( f(x) = (x + 3) \cdot g(x) \) haben muss, wobei \( g(x) \) eine weitere ganzrationale Funktion ist. Ein einfaches Beispiel für eine solche Funktion ist: \[ f(x) = (x + 3) \cdot h(x) \] wobei \( h(x) \) eine beliebige ganzrationale Funktion ist. Zum Beispiel: \[ f(x) = (x + 3)(x^2 + 2x + 1) \] Hier ist \( x = -3 \) eine Nullstelle, weil: \[ f(-3) = (-3 + 3)(-3^2 + 2(-3) + 1) = 0 \cdot (9 - 6 + 1) = 0 \] Jede Funktion, die den Faktor \( (x + 3) \) enthält, wird bei \( x = -3 \) eine Nullstelle haben.

Um die Produktfunktion \( f \times g \) der beiden gegebenen Funktionen \( f(x) = x^2 + 3x - 4 \) und \( g(x) = 3x^3 + 4x \) zu berechnen, multipliziere die beiden Funktionen miteinander: \[ (f \times g)(x) = f(x) \cdot g(x) \] Setze die Ausdrücke für \( f(x) \) und \( g(x) \) ein: \[ (f \times g)(x) = (x^2 + 3x - 4) \cdot (3x^3 + 4x) \] Nun multipliziere die Terme aus: \[ (f \times g)(x) = (x^2 + 3x - 4) \cdot (3x^3 + 4x) \] \[ = x^2 \cdot (3x^3 + 4x) + 3x \cdot (3x^3 + 4x) - 4 \cdot (3x^3 + 4x) \] Multipliziere jeden Term einzeln aus: \[ = x^2 \cdot 3x^3 + x^2 \cdot 4x + 3x \cdot 3x^3 + 3x \cdot 4x - 4 \cdot 3x^3 - 4 \cdot 4x \] \[ = 3x^5 + 4x^3 + 9x^4 + 12x^2 - 12x^3 - 16x \] Fasse die Terme zusammen: \[ = 3x^5 + 9x^4 + (4x^3 - 12x^3) + 12x^2 - 16x \] \[ = 3x^5 + 9x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 16x \] Die Produktfunktion \( f \times g \) ist also: \[ (f \times g)(x) = 3x^5 + 9x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 16x \]

Um die Summenfunktion \( (f+g)(x) \) zu berechnen, addierst du die beiden gegebenen Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \). Die Funktionen sind: \[ f(x) = x^2 + 3x - 4 \] \[ g(x) = 3x^3 + 4x \] Die Summenfunktion \( (f+g)(x) \) ist: \[ (f+g)(x) = f(x) + g(x) \] Setze die Ausdrücke für \( f(x) \) und \( g(x) \) ein: \[ (f+g)(x) = (x^2 + 3x - 4) + (3x^3 + 4x) \] Nun addiere die Terme: \[ (f+g)(x) = 3x^3 + x^2 + 3x + 4x - 4 \] Fasse die Terme zusammen: \[ (f+g)(x) = 3x^3 + x^2 + 7x - 4 \] Die Summenfunktion ist also: \[ (f+g)(x) = 3x^3 + x^2 + 7x - 4 \]