7 Fragen zu Geradengleichung

Um die Geradengleichung \( y = 2.5x - 4.5 \) zu lösen, kannst du verschiedene Werte für \( x \) einsetzen, um die entsprechenden \( y \)-Werte zu finden. Hier sind die Schritte: 1. **Wähle einen Wert für \( x \)**: Zum Beispiel \( x = 0 \). 2. **Setze den Wert in die Gleichung ein**: \[ y = 2.5(0) - 4.5 = -4.5 \] Das ergibt den Punkt \( (0, -4.5) \). 3. **Wähle einen weiteren Wert für \( x \)**: Zum Beispiel \( x = 2 \). 4. **Setze den Wert in die Gleichung ein**: \[ y = 2.5(2) - 4.5 = 5 - 4.5 = 0.5 \] Das ergibt den Punkt \( (2, 0.5) \). 5. **Wiederhole diesen Prozess für weitere Werte von \( x \)**, um mehr Punkte zu finden. 6. **Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem** und verbinde sie, um die Gerade darzustellen. Die Steigung der Geraden ist \( 2.5 \), was bedeutet, dass die Gerade um 2.5 Einheiten steigt, wenn \( x \) um 1 Einheit steigt. Der y-Achsenabschnitt ist \( -4.5 \), was der Punkt ist, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Die beiden Geradengleichungen \( y = mx + t \) und \( y = a + bx \) sind im Wesentlichen gleich, sie unterscheiden sich nur in der Notation der Parameter: 1. **\( y = mx + t \)**: - \( m \) ist die Steigung der Geraden. - \( t \) ist der y-Achsenabschnitt, also der Wert von \( y \), wenn \( x = 0 \). 2. **\( y = a + bx \)**: - \( b \) ist die Steigung der Geraden. - \( a \) ist der y-Achsenabschnitt, also der Wert von \( y \), wenn \( x = 0 \). In beiden Fällen beschreibt die Gleichung eine lineare Beziehung zwischen \( x \) und \( y \). Die Steigung gibt an, wie stark \( y \) sich ändert, wenn \( x \) um eine Einheit zunimmt, und der y-Achsenabschnitt gibt den Punkt an, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Der y-Abschnitt (auch y-Achsenabschnitt oder Ordinatenabschnitt genannt) einer Geradengleichung ist der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. In der Standardform der Geradengleichung \(y = mx + b\) repräsentiert der Wert \(b\) den y-Abschnitt. Dieser Wert gibt an, welchen y-Wert die Gerade hat, wenn \(x = 0\) ist. Der y-Abschnitt ist somit ein wichtiger Parameter, der die Lage der Geraden im Koordinatensystem bestimmt.

Um eine Geradengleichung mit Punkten und Vektoren aufzustellen, kannst du die Parameterform oder die Koordinatenform verwenden. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung beide Methoden: ### Parameterform (Vektorform) 1. **Bestimme einen Punkt auf der Geraden**: Sei dieser Punkt \( P_0(x_0, y_0, z_0) \). 2. **Bestimme einen Richtungsvektor**: Sei dieser Vektor \( \vec{d} = (a, b, c) \). Dieser Vektor gibt die Richtung der Geraden an. 3. **Parameterform der Geraden**: Die Geradengleichung in Parameterform lautet: \[ \vec{r}(t) = \vec{P_0} + t \cdot \vec{d} \] wobei \( \vec{r}(t) \) der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden ist und \( t \) ein Parameter (reelle Zahl). In Komponentenform: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \] ### Koordinatenform 1. **Bestimme zwei Punkte auf der Geraden**: Sei \( P_1(x_1, y_1, z_1) \) und \( P_2(x_2, y_2, z_2) \). 2. **Berechne den Richtungsvektor**: Der Richtungsvektor \( \vec{d} \) ist die Differenz der beiden Punkte: \[ \vec{d} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{pmatrix} \] 3. **Parameterform der Geraden**: Verwende einen der beiden Punkte (z.B. \( P_1 \)) und den Richtungsvektor \( \vec{d} \), um die Parameterform wie oben beschrieben aufzustellen. ### Beispiel Gegeben seien die Punkte \( P_1(1, 2, 3) \) und \( P_2(4, 5, 6) \). 1. **Richtungsvektor**: \[ \vec{d} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 5 - 2 \\ 6 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] 2. **Parameterform**: \[ \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] In Komponentenform: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] Das ist die Geradengleichung in Parameterform.

Um die Gleichung der Geraden \( g_1 \) zu bestimmen, die senkrecht zur Geraden \( g_2 \) ist und durch den Punkt \( P(-2, 5) \) geht, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Steigung der Geraden \( g_2 \):** Die Gleichung der Geraden \( g_2 \) ist \( y = -3x + 3 \). Die Steigung \( m_2 \) dieser Geraden ist -3. 2. **Bestimme die Steigung der senkrechten Geraden \( g_1 \):** Wenn zwei Geraden senkrecht zueinander sind, ist das Produkt ihrer Steigungen -1. Sei \( m_1 \) die Steigung der gesuchten Geraden \( g_1 \). Dann gilt: \[ m_1 \cdot m_2 = -1 \] Da \( m_2 = -3 \), ergibt sich: \[ m_1 \cdot (-3) = -1 \implies m_1 = \frac{1}{3} \] 3. **Verwende den Punkt \( P(-2, 5) \) und die Steigung \( m_1 \), um die Gleichung der Geraden \( g_1 \) zu bestimmen:** Die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung lautet: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Setze \( m = \frac{1}{3} \), \( x_1 = -2 \) und \( y_1 = 5 \) ein: \[ y - 5 = \frac{1}{3}(x + 2) \] 4. **Forme die Gleichung um:** \[ y - 5 = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \] \[ y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} + 5 \] \[ y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} + \frac{15}{3} \] \[ y = \frac{1}{3}x + \frac{17}{3} \] Die Gleichung der gesuchten Geraden \( g_1 \) lautet also: \[ y = \frac{1}{3}x + \frac{17}{3} \]

Um eine Gerade in der Vektorschreibweise anzugeben, benötigst du einen Stützvektor und einen Richtungsvektor. Die Gleichung, die du angegeben hast, lautet: \[ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} \] Hier ist \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) der Stützvektor und \(\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}\) der Richtungsvektor. Die Variable \(t\) ist ein Parameter, der die Punkte auf der Geraden beschreibt. Die Geradengleichung in Parameterform lautet also: \[ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} \] Das bedeutet, dass jeder Punkt \(\vec{x}\) auf der Geraden durch diese Gleichung beschrieben werden kann, indem du den Parameter \(t\) variierst.

Um die Funktionsgleichung einer Geraden \( f \) zu bestimmen, die durch die Punkte \( P(-4, -3) \) und \( Q(2, 6) \) verläuft, musst du zunächst die Steigung \( m \) und den y-Achsenabschnitt \( n \) berechnen. 1. **Berechnung der Steigung \( m \):** Die Steigung \( m \) einer Geraden, die durch zwei Punkte \( (x_1, y_1) \) und \( (x_2, y_2) \) verläuft, wird mit der Formel berechnet: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Setze die Koordinaten der Punkte \( P(-4, -3) \) und \( Q(2, 6) \) in die Formel ein: \[ m = \frac{6 - (-3)}{2 - (-4)} = \frac{6 + 3}{2 + 4} = \frac{9}{6} = 1.5 \] 2. **Berechnung des y-Achsenabschnitts \( n \):** Die Funktionsgleichung einer Geraden lautet \( y = mx + n \). Um \( n \) zu finden, setze die Steigung \( m \) und die Koordinaten eines der beiden Punkte in die Gleichung ein. Verwenden wir Punkt \( P(-4, -3) \): \[ -3 = 1.5 \cdot (-4) + n \] \[ -3 = -6 + n \] \[ n = -3 + 6 \] \[ n = 3 \] 3. **Aufstellen der Funktionsgleichung:** Setze die Werte für \( m \) und \( n \) in die Funktionsgleichung ein: \[ y = 1.5x + 3 \] Die Funktionsgleichung der Geraden \( f \) lautet also: \[ y = 1.5x + 3 \]