7 Fragen zu Gleichsetzungsverfahren

Um das lineare Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Schreibe die beiden Gleichungen auf: \[ \begin{cases} x + 2y = 4 \quad \text{(1)} \\ x - 4y = 5 \quad \text{(2)} \end{cases} \] 2. Stelle beide Gleichungen nach \( x \) um: \[ x = 4 - 2y \quad \text{(aus Gleichung 1)} \] \[ x = 5 + 4y \quad \text{(aus Gleichung 2)} \] 3. Setze die beiden Ausdrücke für \( x \) gleich: \[ 4 - 2y = 5 + 4y \] 4. Löse die Gleichung nach \( y \) auf: \[ 4 - 5 = 4y + 2y \] \[ -1 = 6y \] \[ y = -\frac{1}{6} \] 5. Setze den Wert von \( y \) in eine der umgestellten Gleichungen ein, um \( x \) zu finden. Verwende \( x = 4 - 2y \): \[ x = 4 - 2\left(-\frac{1}{6}\right) \] \[ x = 4 + \frac{2}{6} \] \[ x = 4 + \frac{1}{3} \] \[ x = \frac{12}{3} + \frac{1}{3} \] \[ x = \frac{13}{3} \] Das Lösungspaar für das Gleichungssystem ist: \[ \left( \frac{13}{3}, -\frac{1}{6} \right) \]

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Hier ist eine Schrittür-Schritt-Anleitung Lösung des gegebenen Gleichssystems: 1. Gegebenes Gleichssystem: \[ \begin{} -3x + y = \\ 3 - y = \endcases} \] 2. Gleichungen nach \( y \ auflösen: \[ y =6 + 3x \quad \text(aus der ersten Gleichung)} \ \[ = 3x 6 \quad \text(aus der zweiten Gleichung)} \] 3. Die beiden Ausdrücke für \( y \) gleichsetzen: \[ 6 + 3x = 3x - 6 \] 4. Die Gleichung vereinfachen: \[ 6 + x - 3x = -6 \] \[ 6 = -6 \] Diese Gleichung ist offensichtlich falsch, was bedeutet, dass das ursprüngliche Gleichungssystem keine hat. Die beiden Geraden sind parallel und schneiden sich nicht. Das Gleichungssystem ist also widersprüchlich und hat keine Lösung.

Das Gleichsetzungsverfahren eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystem. Hier ist eine Schrittür-Schritt-An zur Lösung des gegeben Gleichungssystems: . Gegebenes Gleichungssystem: \[ \begin{} -3x + y = \\ 3x - y =6 \endcases} \] . Addiere die beiden Gleichungen, um der Variablen zu eliminieren: \[ (-3x + y + (3x - y) = 6 +6 \] \[ 0 = \] . Da die Addition beiden Gleichungen zu einer falschen Aussage führt (0 = 12), gibt es keine Lösung für dieses Gleichungssystem. Das bedeutet, dass die beiden Geraden parallel sind und sich nie schneiden. Das Gleichungssystem ist also widersprüchlich und hat keine Lösung.

Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, müssen die beiden Gleichungen so umgeformt werden, dass eine Variable in beiden Gleichungen gleich ist. Hier sind die beiden Gleichungen: 1. \( 7x - 11y = 1 \) 2. \( 14x - 20y = 12 \) Zuerst wird die erste Gleichung so umgeformt, dass \( x \) isoliert wird: \[ 7x - 11y = 1 \] \[ 7x = 11y + 1 \] \[ x = \frac{11y + 1}{7} \] Nun wird die zweite Gleichung so umgeformt, dass \( x \) isoliert wird: \[ 14x - 20y = 12 \] \[ 14x = 20y + 12 \] \[ x = \frac{20y + 12}{14} \] \[ x = \frac{10y + 6}{7} \] Jetzt werden die beiden Ausdrücke für \( x \) gleichgesetzt: \[ \frac{11y + 1}{7} = \frac{10y + 6}{7} \] Da die Nenner gleich sind, können die Zähler gleichgesetzt werden: \[ 11y + 1 = 10y + 6 \] Nun wird nach \( y \) aufgelöst: \[ 11y - 10y = 6 - 1 \] \[ y = 5 \] Jetzt wird der Wert von \( y \) in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt, um \( x \) zu finden. Verwenden wir die erste Gleichung: \[ 7x - 11(5) = 1 \] \[ 7x - 55 = 1 \] \[ 7x = 56 \] \[ x = 8 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = 8 \] \[ y = 5 \]

Um das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, folge diesen Schritten: 1. **Gleichungen aufstellen:** \[ 2x + 7y = -7 \quad \text{(1)} \] \[ 2x - 3y = 3 \quad \text{(2)} \] 2. **Beide Gleichungen nach \(2x\) umstellen:** \[ 2x = -7 - 7y \quad \text{(1')} \] \[ 2x = 3 + 3y \quad \text{(2')} \] 3. **Gleichsetzen der umgestellten Gleichungen:** \[ -7 - 7y = 3 + 3y \] 4. **Nach \(y\) auflösen:** \[ -7 - 7y = 3 + 3y \] \[ -7 - 3 = 7y + 3y \] \[ -10 = 10y \] \[ y = -1 \] 5. **Den Wert von \(y\) in eine der umgestellten Gleichungen einsetzen, um \(x\) zu finden:** \[ 2x = 3 + 3(-1) \] \[ 2x = 3 - 3 \] \[ 2x = \] \[ x = 0 \6. **Lösung des Gleichungssystems:** \[ x = 0, \quad y = -1 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also \(x = 0\) und \(y = -1\).

Um ein Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungs- oder Einsetzfahren zu lösen, folge diesen Schritten: ### Gleichsetzungsverfahren 1. **Gleichungen aufstellen**: Schreibe die beiden Gleichungen in der Form \( y = f(x) \) und \( y = g(x) \). 2. **Gleichsetzen**: Setze die beiden Ausdrücke für \( y \) gleich: \( f(x) = g(x) \). 3. **Lösen**: Löse die resultierende Gleichung nach \( x \) auf. 4. **Einsetzen**: Setze die gefundenen \( x \)-Werte in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um die entsprechenden \( y \)-Werte zu finden. ### Einsetzungsverfahren 1. **Gleichungen aufstellen**: Schreibe die beiden Gleichungen in der Form \( y = f(x) \) und \( y = g(x) \). 2. **Umstellen**: Stelle eine der Gleichungen nach einer der Variablen um (z.B. \( y = f(x) \)). 3. **Einsetzen**: Setze den Ausdruck für die umgestellte Variable in die andere Gleichung ein. 4. **Lösen**: Löse die resultierende Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf. 5. **Einsetzen**: Setze den gefundenen Wert in die umgestellte Gleichung ein, um die andere Variable zu finden. ### Beispiel Betrachte das Gleichungssystem: \[ 1) \quad y = 2x + 3 \] \[ 2) \quad y = -x + 1 \] #### Gleichsetzungsverfahren 1. Setze die beiden Gleichungen gleich: \[ 2x + 3 = -x + 1 \] 2. Löse nach \( x \): \[ 2x + x = 1 - 3 \] \[ 3x = -2 \] \[ x = -\frac{2}{3} \] 3. Setze \( x = -\frac{2}{3} \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, z.B. \( y = 2x + 3 \): \[ y = 2\left(-\frac{2}{3}\right) + 3 \] \[ y = -\frac{4}{3} + 3 \] \[ y = -\frac{4}{3} + \frac{9}{3} \] \[ y = \frac{5}{3} \] Die Lösung ist \( x = -\frac{2}{3} \) und \( y = \frac{5}{3} \). #### Einsetzungsverfahren 1. Stelle eine der Gleichungen nach einer Variablen um, z.B. \( y = 2x + 3 \). 2. Setze \( y = 2x + 3 \) in die zweite Gleichung ein: \[ 2x + 3 = -x + 1 \] 3. Löse nach \( x \): \[ 2x + x = 1 - 3 \] \[ 3x = -2 \] \[ x = -\frac{2}{3} \] 4. Setze \( x = -\frac{2}{3} \) in \( y = 2x + 3 \) ein: \[ y = 2\left(-\frac{2}{3}\right) + 3 \] \[ y = -\frac{4}{3} + 3 \] \[ y = \frac{5}{3} \] Die Lösung ist ebenfalls \( x = -\frac{2}{3} \) und \( y = \frac{5}{3} \). Beide Verfahren führen zur gleichen Lösung.

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung1. **Gleichungen aufstellen**: Gegeben sind zwei Gleichungen in der Form: \[ y = f(x) \] \[ y = g(x) \] 2 **Gleichsetzen**: Setze die beiden Gleichungen gleich: \[ f(x) = g(x) \] 3. **Lösen**: Löse die resultierende Gleichung nach \(x\) auf. 4. **Einsetzen**: Setze den gefundenen Wert von \(x\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um den entsprechenden \(y\)-Wert zu finden. **Beispiel:** Gegeben sind die Gleichungen: \[ y = 2x + 3 \] \[ y = -x + 5 \] 1. **Gleichsetzen**: \[ 2x + 3 = -x + 5 \] 2. **Lösen**: \[ 2x + x = 5 - 3 \] \[ 3x = 2 \] \[ x = \frac{2}{3} \] 3. **Einsetzen**: Setze \(x = \frac{2}{3}\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, z.B. \(y = 2x + 3\): \[ y = 2 \left(\frac{2}{3}\right) + 3 \] \[ y = \frac{4}{3} + 3 \] \[ y \frac{4}{3} + \frac{9}{3} \] \[ y = \frac{13}{3} \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = \frac{2}{3}, \quad y = \frac{13}{3} \]