2516 Fragen zu Gleichung

Um die Gleichung \(8x + \frac{3}{5} = 7\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Subtrahiere \(\frac{3}{5}\) von beiden Seiten der Gleichung, um die Konstante auf die rechte Seite zu bringen: \[ 8x = 7 - \frac{3}{5} \] 2. Um \(7\) als Bruch mit dem gleichen Nenner wie \(\frac{3}{5}\) darzustellen, schreibe \(7\) als \(\frac{35}{5}\): \[ 8x = \frac{35}{5} - \frac{3}{5} \] 3. Subtrahiere die Brüche: \[ 8x = \frac{35 - 3}{5} = \frac{32}{5} \] 4. Teile beide Seiten der Gleichung durch 8, um \(x\) zu isolieren: \[ x = \frac{32}{5} \div 8 = \frac{32}{5} \times \frac{1}{8} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} \] Die Lösung ist \(x = \frac{4}{5}\).

Um die Gleichung \(8x + 12 + 9x - 15 = 10x\) zu lösen, kannst du die folgenden Schritte befolgen: 1. **Fasse die Terme auf der linken Seite zusammen:** \[ 8x + 9x + 12 - 15 = 17x - 3 \] Die Gleichung wird also zu: \[ 17x - 3 = 10x \] 2. **Bringe alle \(x\)-Terme auf eine Seite der Gleichung:** Subtrahiere \(10x\) von beiden Seiten: \[ 17x - 10x - 3 = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 7x - 3 = 0 \] 3. **Löse nach \(x\) auf:** Addiere 3 zu beiden Seiten: \[ 7x = 3 \] Teile dann durch 7: \[ x = \frac{3}{7} \] Die Lösung der Gleichung ist also \(x = \frac{3}{7}\).

Um die Gleichung \((x+2)^2 + 4x = -2x + (x+1)^2 + 3\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. **Entwickle die Quadrate:** \((x+2)^2 = x^2 + 4x + 4\) \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\) 2. **Setze die entwickelten Ausdrücke in die Gleichung ein:** \(x^2 + 4x + 4 + 4x = -2x + x^2 + 2x + 1 + 3\) 3. **Vereinfache beide Seiten der Gleichung:** Linke Seite: \(x^2 + 8x + 4\) Rechte Seite: \(x^2 + 0x + 4\) 4. **Subtrahiere \(x^2\) von beiden Seiten:** \(8x + 4 = 4\) 5. **Subtrahiere 4 von beiden Seiten:** \(8x = 0\) 6. **Teile durch 8:** \(x = 0\) Die Lösung der Gleichung ist \(x = 0\).

Ja, das ist korrekt. Das klassische Problem der Winkeldrittelung mit Zirkel und Lineal ist unlösbar, weil es auf die Lösung einer kubischen Gleichung hinausläuft, die im Allgemeinen nicht mit diesen Werkzeugen gelöst werden kann. Die Neusis-Konstruktion hingegen erlaubt es, durch das Hinzufügen eines weiteren Werkzeugs (einer verschiebbaren Linie) bestimmte Probleme zu lösen, die mit Zirkel und Lineal allein nicht lösbar sind, einschließlich der Winkeldrittelung. Diese Methode fällt jedoch nicht unter die klassischen Konstruktionen der antiken Geometrie.

Um die lineare Gleichung \(2x + 5 = 13\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Subtrahiere 5 von beiden Seiten der Gleichung: \[ 2x + 5 - 5 = 13 - 5 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 2x = 8 \] 2. Teile beide Seiten der Gleichung durch 2, um \(x\) zu isolieren: \[ \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \] Das ergibt: \[ x = 4 \] Das Ergebnis der Gleichung ist also \(x = 4\).

Um das Gleichsetzungsverfahren zu verwenden, müssen wir beide Gleichungen so umformen, dass sie in der gleichen Form vorliegen. Die beiden gegebenen Gleichungen sind: I. \(3y = x - 1\) II. \(y = 5x - 5\) Zuerst lösen wir die erste Gleichung nach \(y\) auf: \(3y = x - 1\) Teile beide Seiten durch 3: \(y = \frac{x - 1}{3}\) Jetzt haben wir: I. \(y = \frac{x - 1}{3}\) II. \(y = 5x - 5\) Da beide Gleichungen den gleichen Ausdruck für \(y\) haben, setzen wir sie gleich: \(\frac{x - 1}{3} = 5x - 5\) Um die Brüche zu beseitigen, multiplizieren wir beide Seiten mit 3: \(x - 1 = 15x - 15\) Bringe alle Terme mit \(x\) auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite: \(x - 15x = -15 + 1\) \(-14x = -14\) Teile beide Seiten durch \(-14\): \(x = 1\) Setze \(x = 1\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \(y\) zu finden. Verwenden wir die zweite Gleichung: \(y = 5(1) - 5\) \(y = 5 - 5\) \(y = 0\) Die Lösung des Gleichungssystems ist \(x = 1\) und \(y = 0\).

Um die gesuchte Zahl zu finden, kannst du eine Gleichung aufstellen. Sei \( x \) die gesuchte Zahl. Laut der Aufgabenstellung ergibt das Doppelte der Zahl plus 8 den Wert 36. Das kannst du so aufschreiben: \[ 2x + 8 = 36 \] Um \( x \) zu finden, löse die Gleichung: 1. Subtrahiere 8 von beiden Seiten: \[ 2x = 28 \] 2. Teile beide Seiten durch 2: \[ x = 14 \] Die gesuchte Zahl ist also 14.

Um die Gleichung \(30 - \frac{y}{3} = 27\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Subtrahiere 30 von beiden Seiten der Gleichung: \[ -\frac{y}{3} = 27 - 30 \] \[ -\frac{y}{3} = -3 \] 2. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit -3, um \(y\) zu isolieren: \[ y = -3 \times -3 \] \[ y = 9 \] Die Lösung ist \(y = 9\).

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = 3x^4 - 4x^3 \) zu bestimmen, setzt du die Funktion gleich null: \[ 3x^4 - 4x^3 = 0 \] Faktoriere den Ausdruck: \[ x^3(3x - 4) = 0 \] Setze jeden Faktor gleich null: 1. \( x^3 = 0 \) ergibt \( x = 0 \) 2. \( 3x - 4 = 0 \) ergibt \( x = \frac{4}{3} \) Die Nullstellen der Funktion sind also \( x = 0 \) und \( x = \frac{4}{3} \).

Die Frage bezieht sich auf das klassische Problem der Winkeldrittelung, das in der antiken Geometrie als eines der drei berühmten Probleme der Konstruktion mit Zirkel und Lineal bekannt ist. Die Einsicht, dass die Winkeldrittelung im Allgemeinen nicht mit Zirkel und Lineal möglich ist, basiert auf der algebraischen Theorie von Körpererweiterungen und der Unmöglichkeit, bestimmte kubische Gleichungen mit diesen Werkzeugen zu lösen. Descartes' Beitrag zur Geometrie beinhaltete die Entwicklung der analytischen Geometrie, die es ermöglichte, geometrische Probleme in algebraische Gleichungen zu übersetzen. Die Lösung von Gleichungen zweiten Grades (Quadratische Gleichungen) ist mit Zirkel und Lineal möglich, da sie auf die Konstruktion von Quadratwurzeln zurückgeführt werden können. Für die Winkeldrittelung ist jedoch oft eine Lösung einer kubischen Gleichung (dritten Grades) erforderlich, die nicht immer auf diese Weise konstruiert werden kann. Dies liegt daran, dass die Lösung solcher Gleichungen im Allgemeinen nicht durch die Konstruktion von Quadratwurzeln allein erreicht werden kann, sondern auch die Konstruktion von Kubikwurzeln erfordern kann, was mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist. Zusammengefasst: Die Unmöglichkeit der Winkeldrittelung mit Zirkel und Lineal ergibt sich aus der Tatsache, dass die Lösung der entsprechenden kubischen Gleichungen nicht immer auf die Konstruktion von Quadratwurzeln beschränkt werden kann, was über die Möglichkeiten dieser Werkzeuge hinausgeht.

Descartes' Methode zur Winkeldrittelung basiert auf der Verwendung von konischen Schnitten, die durch Gleichungen zweiten Grades beschrieben werden können. Diese Methode ist im Rahmen der klassischen griechischen Geometrie, die nur Lineal und Zirkel erlaubt, nicht zulässig, da sie über diese Werkzeuge hinausgeht. Die klassische Winkeldrittelung ist mit Lineal und Zirkel allein nicht möglich, da sie im Allgemeinen die Lösung einer kubischen Gleichung erfordert. Descartes' Ansatz umgeht dieses Problem, indem er zusätzliche Werkzeuge oder Methoden einführt, die über die klassischen Beschränkungen hinausgehen.

Ja, das stimmt. Pierre Wantzel hat 1837 bewiesen, dass es unmöglich ist, einen beliebigen Winkel in drei gleiche Teile zu teilen (Winkeltrisektion) nur mit Zirkel und Lineal, wenn der Winkel nicht bereits ein Vielfaches von 3 Grad ist. Dies liegt daran, dass die Gleichungen, die zur Lösung der Winkeltrisektion führen, im Allgemeinen kubische Gleichungen sind, die nicht durch die Konstruktionen mit Zirkel und Lineal gelöst werden können, da diese Konstruktionen nur Lösungen von quadratischen Gleichungen ermöglichen. Daher sind solche kubischen Gleichungen in der "1/3-Richtung" nicht konstruierbar.

Das Winkeldrittelungsproblem ist eines der klassischen Probleme der antiken griechischen Mathematik und bezieht sich auf die Aufgabe, einen beliebigen Winkel in drei gleiche Teile zu teilen, nur mit Zirkel und Lineal. Es wurde bewiesen, dass dies im Allgemeinen nicht möglich ist, wenn man nur diese Werkzeuge verwendet. Der Beweis, dass die Winkeldrittelung im Allgemeinen nicht möglich ist, basiert auf der Theorie der algebraischen Gleichungen. Insbesondere zeigt die Galoistheorie, dass die Lösung des Winkeldrittelungsproblems im Allgemeinen eine kubische Gleichung erfordert, die nicht durch die Konstruktionen mit Zirkel und Lineal gelöst werden kann, da diese nur Lösungen von quadratischen Gleichungen (Gleichungen zweiten Grades) konstruieren können. Descartes hat im 17. Jahrhundert Methoden entwickelt, um bestimmte algebraische Probleme zu lösen, aber die allgemeine Winkeldrittelung mit Zirkel und Lineal bleibt unmöglich. Es gibt jedoch spezielle Winkel, die sich mit Zirkel und Lineal dritteln lassen, aber das gilt nicht für alle Winkel.

Um die Funktionsgleichung einer Parabel in Scheitelpunktform anzugeben, benötigst du den Scheitelpunkt in der Form \( (h, k) \) und die Streckung oder Stauchung der Parabel, die durch den Faktor \( a \) bestimmt wird. Die allgemeine Form der Scheitelpunktform ist: \[ f(x) = a(x - h)^2 + k \] In deiner Frage ist nur der Wert \(-\frac{2}{3}\) gegeben, was nicht ausreicht, um die vollständige Funktionsgleichung zu bestimmen. Du benötigst den vollständigen Scheitelpunkt \((h, k)\) und den Wert von \(a\). Wenn du diese Informationen hast, kannst du die Funktionsgleichung aufstellen.

Um die Gleichung \(7x^2 - x = 0\) durch Ausklammern zu lösen, folge diesen Schritten: 1. **Identifiziere den gemeinsamen Faktor:** In beiden Termen \(7x^2\) und \(-x\) ist \(x\) der gemeinsame Faktor. 2. **Klammer den gemeinsamen Faktor aus:** \[ x(7x - 1) = 0 \] 3. **Setze jeden Faktor gleich Null:** - \(x = 0\) - \(7x - 1 = 0\) 4. **Löse die zweite Gleichung:** \[ 7x - 1 = 0 \implies 7x = 1 \implies x = \frac{1}{7} \] Die Lösungen der Gleichung sind also \(x = 0\) und \(x = \frac{1}{7}\).