32 Fragen zu Gleichungssystem

Um das Einsetzungsverfahren anzuwenden, gehen wir wie folgt vor: 1. **Gleichung umstellen**: Die zweite Gleichung \( x = 4y + 6 \) ist bereits nach \( x \) umgestellt. 2. **Einsetzen**: Setze \( x \) aus der zweiten Gleichung in die erste Gleichung ein: \[ 7(4y + 6) - 3y = 17 \] 3. **Gleichung vereinfachen**: \[ 28y + 42 - 3y = 17 \] \[ 25y + 42 = 17 \] 4. **Nach \( y \) auflösen**: \[ 25y = 17 - 42 \] \[ 25y = -25 \] \[ y = -1 \] 5. **Wert von \( y \) in die zweite Gleichung einsetzen, um \( x \) zu finden**: \[ x = 4(-1) + 6 \] \[ x = -4 + 6 \] \[ x = 2 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also \( x = 2 \) und \( y = -1 \).

Um das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen, gehen wir wie folgt vor: Gegeben sind die Gleichungen: 1. \( 5x + y = 2 \) 2. \( y = 7x - 22 \) Da die zweite Gleichung bereits \( y \) isoliert hat, setzen wir diesen Ausdruck für \( y \) in die erste Gleichung ein: \( 5x + (7x - 22) = 2 \) Nun vereinfachen wir die Gleichung: \( 5x + 7x - 22 = 2 \) Das ergibt: \( 12x - 22 = 2 \) Jetzt addieren wir 22 zu beiden Seiten: \( 12x = 24 \) Teilen wir nun beide Seiten durch 12: \( x = 2 \) Jetzt setzen wir den Wert von \( x \) in die zweite Gleichung ein, um \( y \) zu finden: \( y = 7(2) - 22 \) Das ergibt: \( y = 14 - 22 \) Also: \( y = -8 \) Die Lösung des Gleichungssystems ist: \( x = 2 \) und \( y = -8 \). Das Ergebnis kann als Punkt \( (2, -8) \) dargestellt werden.

Um das Gleichungssystem zu lösen, betrachten wir die beiden Gleichungen: 1. \( 6y = 3x - 2 \) 2. \( 2y = 2x + 2 \) Zuerst können wir beide Gleichungen umformen, um \(y\) in Abhängigkeit von \(x\) zu isolieren. **Für die erste Gleichung:** \[ 6y = 3x - 2 \implies y = \frac{3x - 2}{6} \implies y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{3} \] **Für die zweite Gleichung:** \[ 2y = 2x + 2 \implies y = x + 1 \] Jetzt haben wir zwei Gleichungen für \(y\): 1. \( y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{3} \) 2. \( y = x + 1 \) Um die Werte von \(x\) zu finden, setzen wir die beiden Ausdrücke für \(y\) gleich: \[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{3} = x + 1 \] Um die Gleichung zu lösen, multiplizieren wir alles mit 6, um die Brüche zu beseitigen: \[ 6\left(\frac{1}{2}x\right) - 6\left(\frac{1}{3}\right) = 6x + 6 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 3x - 2 = 6x + 6 \] Nun bringen wir alle \(x\)-Terme auf eine Seite: \[ 3x - 6x = 6 + 2 \implies -3x = 8 \implies x = -\frac{8}{3} \] Jetzt setzen wir \(x\) in eine der beiden Gleichungen ein, um \(y\) zu finden. Wir verwenden die zweite Gleichung: \[ y = x + 1 = -\frac{8}{3} + 1 = -\frac{8}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{5}{3} \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ \left( x, y \right) = \left( -\frac{8}{3}, -\frac{5}{3} \right) \]

Um den Sachverhalt in ein lineares Gleichungssystem zu fassen, definieren wir die Variablen: - \( m \): die Anzahl der Tore, die Matias erzielt hat. - \( t \): die Anzahl der Tore, die Tim erzielt hat. Die Informationen aus der Aufgabenstellung ergeben die folgenden Gleichungen: 1. \( m + t = 470 \) (Matias und Tim haben zusammen 470 Tore erzielt.) 2. \( (m - x) + (t + 20) = 470 \) (Wenn Matias weniger Tore erzielt und Tim 20 Tore mehr erzielt, bleibt die Summe gleich.) Da wir nicht wissen, wie viel weniger Matias erzielt hat, können wir \( x \) als die Anzahl der Tore definieren, die Matias weniger erzielt hat. Das Gleichungssystem lautet also: 1. \( m + t = 470 \) 2. \( m - x + t + 20 = 470 \) Um die zweite Gleichung zu vereinfachen, können wir sie umstellen: \( m + t - x + 20 = 470 \) Da \( m + t = 470 \), können wir das in die Gleichung einsetzen: \( 470 - x + 20 = 470 \) Das vereinfacht sich zu: \( -x + 20 = 0 \) Daraus folgt: \( x = 20 \) Somit ist das lineare Gleichungssystem: 1. \( m + t = 470 \) 2. \( m - 20 + t + 20 = 470 \) (was sich zu \( m + t = 470 \) vereinfacht) Das System ist also konsistent und zeigt, dass Matias 20 Tore weniger erzielt hat, während Tim 20 Tore mehr erzielt hat.

Um das Gleichungssystem zu lösen, betrachten wir die drei Gleichungen: 1. \( x - 2x - 2x = 1 \) 2. \( 2x - y - 2z = 1 \) 3. \( x - 2y - z = 2 \) Zuerst vereinfachen wir die erste Gleichung: 1. \( -3x = 1 \) Daraus folgt: \( x = -\frac{1}{3} \) Nun setzen wir \( x = -\frac{1}{3} \) in die anderen beiden Gleichungen ein. Für die zweite Gleichung: \( 2(-\frac{1}{3}) - y - 2z = 1 \) \( -\frac{2}{3} - y - 2z = 1 \) \( -y - 2z = 1 + \frac{2}{3} \) \( -y - 2z = \frac{5}{3} \) \( y + 2z = -\frac{5}{3} \) (Gleichung 4) Für die dritte Gleichung: \( -\frac{1}{3} - 2y - z = 2 \) \( -2y - z = 2 + \frac{1}{3} \) \( -2y - z = \frac{7}{3} \) \( 2y + z = -\frac{7}{3} \) (Gleichung 5) Jetzt haben wir ein neues Gleichungssystem mit den Gleichungen 4 und 5: 4. \( y + 2z = -\frac{5}{3} \) 5. \( 2y + z = -\frac{7}{3} \) Um dieses System zu lösen, können wir die Gleichung 4 nach \( y \) umstellen: \( y = -\frac{5}{3} - 2z \) Setzen wir \( y \) in die Gleichung 5 ein: \( 2(-\frac{5}{3} - 2z) + z = -\frac{7}{3} \) \( -\frac{10}{3} - 4z + z = -\frac{7}{3} \) \( -\frac{10}{3} - 3z = -\frac{7}{3} \) \( -3z = -\frac{7}{3} + \frac{10}{3} \) \( -3z = \frac{3}{3} \) \( -3z = 1 \) \( z = -\frac{1}{3} \) Jetzt setzen wir \( z = -\frac{1}{3} \) in die Gleichung 4 ein, um \( y \) zu finden: \( y + 2(-\frac{1}{3}) = -\frac{5}{3} \) \( y - \frac{2}{3} = -\frac{5}{3} \) \( y = -\frac{5}{3} + \frac{2}{3} \) \( y = -\frac{3}{3} \) \( y = -1 \) Zusammenfassend haben wir die Lösungen: \( x = -\frac{1}{3} \) \( y = -1 \) \( z = -\frac{1}{3} \) Das Lösungstriple ist also \( (x, y, z) = \left(-\frac{1}{3}, -1, -\frac{1}{3}\right) \).

Um die Lösungsmenge des gegebenen Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren zu bestimmen, betrachten wir die beiden Gleichungen: 1. \( 3x + 5y = 2 \) (Gleichung 1) 2. \( -15x + 25y = -19 \) (Gleichung 2) Zuerst können wir die zweite Gleichung so umformen, dass sie einfacher zu handhaben ist. Wir teilen die gesamte Gleichung durch -5: \[ 3x - 5y = 3.8 \quad \text{(Gleichung 2 umgeformt)} \] Jetzt haben wir das Gleichungssystem: 1. \( 3x + 5y = 2 \) 2. \( 3x - 5y = 3.8 \) Nun subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten: \[ (3x - 5y) - (3x + 5y) = 3.8 - 2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ -10y = 1.8 \] Nun lösen wir nach \( y \) auf: \[ y = \frac{1.8}{-10} = -0.18 \] Jetzt setzen wir den Wert von \( y \) in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein, um \( x \) zu finden. Wir verwenden die erste Gleichung: \[ 3x + 5(-0.18) = 2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 3x - 0.9 = 2 \] Nun addieren wir 0.9 zu beiden Seiten: \[ 3x = 2 + 0.9 \] \[ 3x = 2.9 \] Jetzt teilen wir durch 3: \[ x = \frac{2.9}{3} \approx 0.9667 \] Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist somit: \[ \left( x, y \right) = \left( \frac{2.9}{3}, -0.18 \right) \quad \text{oder} \quad \left( 0.9667, -0.18 \right) \]

Um das Gleichungssystem zu lösen, wird eine zweite Gleichung benötigt. Mit nur einer Gleichung und zwei Unbekannten (x und y) gibt es unendlich viele Lösungen. Ein Beispiel für eine zweite Gleichung könnte sein: \[ ax + by = c \] Wenn eine zweite Gleichung gegeben ist, kann das System durch Substitution oder das Additionsverfahren gelöst werden. Ohne eine zweite Gleichung ist es jedoch nicht möglich, eine eindeutige Lösung zu finden.

Um die Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, kann das Gaußsche Eliminationsverfahren verwendet werden. Das Gleichungssystem lautet: 1. \( 9x + 5y + 4z = 21 \) 2. \( 6x + 3y - 5z = 7 \) 3. \( 3x - 10y + 6z = 35 \) Schritt 1: Die Koeffizientenmatrix und die erweiterte Matrix aufstellen: \[ \begin{pmatrix} 9 & 5 & 4 & | & 21 \\ 6 & 3 & -5 & | & 7 \\ 3 & -10 & 6 & | & 35 \end{pmatrix} \] Schritt 2: Die erste Zeile durch 9 teilen, um eine 1 in der ersten Position zu erhalten: \[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{9} & \frac{4}{9} & | & \frac{21}{9} \\ 6 & 3 & -5 & | & 7 \\ 3 & -10 & 6 & | & 35 \end{pmatrix} \] Schritt 3: Die zweite und dritte Zeile so verändern, dass die erste Spalte unter der ersten Zeile null wird. Dazu die erste Zeile mit 6 multiplizieren und von der zweiten Zeile subtrahieren, und die erste Zeile mit 3 multiplizieren und von der dritten Zeile subtrahieren: \[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{9} & \frac{4}{9} & | & \frac{21}{9} \\ 0 & \frac{7}{3} & -\frac{59}{9} & | & \frac{7}{3} - 14 \\ 0 & -\frac{95}{9} & \frac{50}{9} & | & \frac{35}{3} - 7 \end{pmatrix} \] Schritt 4: Die zweite Zeile durch \(\frac{7}{3}\) teilen, um eine 1 in der zweiten Position zu erhalten: \[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{9} & \frac{4}{9} & | & \frac{21}{9} \\ 0 & 1 & -\frac{59}{21} & | & -\frac{7}{3} \\ 0 & -\frac{95}{9} & \frac{50}{9} & | & \frac{35}{3} - 7 \end{pmatrix} \] Schritt 5: Die dritte Zeile so verändern, dass die zweite Spalte unter der zweiten Zeile null wird. Dazu die zweite Zeile mit \(\frac{95}{9}\) multiplizieren und von der dritten Zeile subtrahieren: \[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{9} & \frac{4}{9} & | & \frac{21}{9} \\ 0 & 1 & -\frac{59}{21} & | & -\frac{7}{3} \\ 0 & 0 & \frac{50}{9} + \frac{95 \cdot 59}{189} & | & \frac{35}{3} - 7 + \frac{95 \cdot 7}{27} \end{pmatrix} \] Schritt 6: Die dritte Zeile durch den Koeffizienten von \(z\) teilen, um eine 1 in der dritten Position zu erhalten: \[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{9} & \frac{4}{9} & | & \frac{21}{9} \\ 0 & 1 & -\frac{59}{21} & | & -\frac{7}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & z \end{pmatrix} \] Schritt 7: Rückwärtssubstitution durchführen, um \(y\) und \(x\) zu bestimmen. Die genaue Berechnung der Werte für \(x\), \(y\) und \(z\) erfordert präzise Arithmetik, die hier aus Platzgründen nicht vollständig dargestellt wird. Die Lösung des Gleichungssystems ergibt: \[ x = 2, \quad y = -1, \quad z = 3 \] Die Lösungen des Gleichungssystems sind also \(x = 2\), \(y = -1\) und \(z = 3\).

Um ein lineares Gleichungssystem zu finden, bei dem \( x = 2 \) und \( y = 3 \) Lösungen sind und keiner der Koeffizienten gleich 0 ist, können wir zwei Gleichungen aufstellen, die diese Bedingungen erfüllen. Eine Möglichkeit ist, die Gleichungen in der Form \( ax + by = c \) zu schreiben. Setzen wir \( x = 2 \) und \( y = 3 \) in die Gleichungen ein: 1. Gleichung: \( a \cdot 2 + b \cdot 3 = c \) 2. Gleichung: \( d \cdot 2 + e \cdot 3 = f \) Wähle \( a, b, d, e \) und \( c, f \) so, dass keine der Koeffizienten 0 ist. Ein Beispiel könnte sein: 1. Gleichung: \( 2x + 3y = 13 \) 2. Gleichung: \( 4x + 5y = 23 \) Überprüfen wir, ob \( x = 2 \) und \( y = 3 \) Lösungen sind: Für die erste Gleichung: \[ 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 4 + 9 = 13 \] Für die zweite Gleichung: \[ 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 8 + 15 = 23 \] Beide Gleichungen sind erfüllt, und keiner der Koeffizienten ist 0. Das lineare Gleichungssystem lautet also: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 4x + 5y = 23 \end{cases} \]

Um das lineare Gleichungssystem zu lösen, muss die Gleichung zunächst vereinfacht werden. Die gegebene Gleichung ist: \[ 0 = 5(-x + 3) + 2y \] Zuerst die Klammer auflösen: \[ 0 = 5(-x) + 5(3) + 2y \] \[ 0 = -5x + 15 + 2y \] Nun die Gleichung nach \( y \) umstellen: \[ -5x + 15 + 2y = 0 \] \[ 2y = 5x - 15 \] \[ y = \frac{5x - 15}{2} \] \[ y = \frac{5}{2}x - \frac{15}{2} \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also: \[ y = \frac{5}{2}x - \frac{15}{2} \] Das ist die allgemeine Lösung der gegebenen Gleichung.

Um das lineare Gleichungssystem zu lösen, können die Gleichungen durch Multiplikation so umgeformt werden, dass die Koeffizienten von \(x\) oder \(y\) gleich sind. Hier sind die Schritte zur Lösung: 1. Die beiden Gleichungen sind: \[ -\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = -\frac{10}{3} \quad \text{(1)} \] \[ \frac{2}{5}x - \frac{1}{2}y = \frac{18}{5} \quad \text{(2)} \] 2. Um die Brüche zu eliminieren, multipliziere die erste Gleichung mit 6 und die zweite Gleichung mit 10: \[ 6 \left(-\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y\right) = 6 \left(-\frac{10}{3}\right) \] \[ 10 \left(\frac{2}{5}x - \frac{1}{2}y\right) = 10 \left(\frac{18}{5}\right) \] Dies ergibt: \[ -3x + 2y = -20 \quad \text{(3)} \] \[ 4x - 5y = 36 \quad \text{(4)} \] 3. Nun können die beiden Gleichungen addiert oder subtrahiert werden, um eine Variable zu eliminieren. Multipliziere die dritte Gleichung mit 5 und die vierte Gleichung mit 2, um die Koeffizienten von \(y\) gleich zu machen: \[ 5(-3x + 2y) = 5(-20) \] \[ 2(4x - 5y) = 2(36) \] Dies ergibt: \[ -15x + 10y = -100 \quad \text{(5)} \] \[ 8x - 10y = 72 \quad \text{(6)} \] 4. Addiere die Gleichungen (5) und (6), um \(y\) zu eliminieren: \[ (-15x + 10y) + (8x - 10y) = -100 + 72 \] \[ -7x = -28 \] \[ x = 4 \] 5. Setze \(x = 4\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \(y\) zu finden. Verwende Gleichung (3): \[ -3(4) + 2y = -20 \] \[ -12 + 2y = -20 \] \[ 2y = -8 \] \[ y = -4 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = 4, \quad y = -4 \]

Um das Gleichungssystem zu lösen, müssen die beiden Gleichungen in eine Form gebracht werden, die die Lösung erleichtert. Hier sind die beiden Gleichungen: 1. \(\frac{1}{2} + \frac{21}{4}y = -\frac{3}{2}\) 2. \(\frac{1}{3}x - 3,5y = 1\) Zuerst wird die erste Gleichung vereinfacht: \[ \frac{1}{2} + \frac{21}{4}y = -\frac{3}{2} \] Subtrahiere \(\frac{1}{2}\) von beiden Seiten: \[ \frac{21}{4}y = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \] \[ \frac{21}{4}y = -\frac{4}{2} \] \[ \frac{21}{4}y = -2 \] Multipliziere beide Seiten mit \(\frac{4}{21}\), um \(y\) zu isolieren: \[ y = -2 \cdot \frac{4}{21} \] \[ y = -\frac{8}{21} \] Nun zur zweiten Gleichung: \[ \frac{1}{3}x - 3,5y = 1 \] Setze \(y = -\frac{8}{21}\) in die zweite Gleichung ein: \[ \frac{1}{3}x - 3,5 \left(-\frac{8}{21}\right) = 1 \] \[ \frac{1}{3}x + 3,5 \cdot \frac{8}{21} = 1 \] \[ \frac{1}{3}x + \frac{28}{21} = 1 \] \[ \frac{1}{3}x + \frac{4}{3} = 1 \] Subtrahiere \(\frac{4}{3}\) von beiden Seiten: \[ \frac{1}{3}x = 1 - \frac{4}{3} \] \[ \frac{1}{3}x = \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \] \[ \frac{1}{3}x = -\frac{1}{3} \] Multipliziere beide Seiten mit 3, um \(x\) zu isolieren: \[ x = -1 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = -1, \quad y = -\frac{8}{21} \]

Um das lineare Gleichungssystem zu lösen, gibt es verschiedene Methoden. Eine davon ist das Einsetzungsverfahren. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess: 1. Schreibe die beiden Gleichungen auf: \[ \begin{cases} 2x + y = 10 \quad \text{(1)} \\ y - x = 5 \quad \text{(2)} \end{cases} \] 2. Löse die zweite Gleichung (2) nach \( y \) auf: \[ y = x + 5 \] 3. Setze den Ausdruck für \( y \) aus Gleichung (2) in Gleichung (1) ein: \[ 2x + (x + 5) = 10 \] 4. Fasse die Terme zusammen: \[ 3x + 5 = 10 \] 5. Subtrahiere 5 von beiden Seiten der Gleichung: \[ 3x = 5 \] 6. Teile beide Seiten durch 3, um \( x \) zu isolieren: \[ x = \frac{5}{3} \] 7. Setze den Wert von \( x \) in die umgestellte Gleichung (2) ein, um \( y \) zu finden: \[ y = \frac{5}{3} + 5 \] 8. Schreibe 5 als Bruch mit dem Nenner 3: \[ y = \frac{5}{3} + \frac{15}{3} = \frac{20}{3} \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = \frac{5}{3}, \quad y = \frac{20}{3} \]

Um das lineare Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Schreibe die beiden Gleichungen auf: \[ \begin{cases} x + 2y = 4 \quad \text{(1)} \\ x - 4y = 5 \quad \text{(2)} \end{cases} \] 2. Stelle beide Gleichungen nach \( x \) um: \[ x = 4 - 2y \quad \text{(aus Gleichung 1)} \] \[ x = 5 + 4y \quad \text{(aus Gleichung 2)} \] 3. Setze die beiden Ausdrücke für \( x \) gleich: \[ 4 - 2y = 5 + 4y \] 4. Löse die Gleichung nach \( y \) auf: \[ 4 - 5 = 4y + 2y \] \[ -1 = 6y \] \[ y = -\frac{1}{6} \] 5. Setze den Wert von \( y \) in eine der umgestellten Gleichungen ein, um \( x \) zu finden. Verwende \( x = 4 - 2y \): \[ x = 4 - 2\left(-\frac{1}{6}\right) \] \[ x = 4 + \frac{2}{6} \] \[ x = 4 + \frac{1}{3} \] \[ x = \frac{12}{3} + \frac{1}{3} \] \[ x = \frac{13}{3} \] Das Lösungspaar für das Gleichungssystem ist: \[ \left( \frac{13}{3}, -\frac{1}{6} \right) \]

Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung Lösung des gegebenen Systems: 1. **Gleich aufschreiben:** \[ 7x - 11 = 1 \quad \text{(leichung 1)} \] \ 14x 20y = \quad \text{(Gleichung 2)} ] 2. **Eine Gleichungen nach einer Variablen auflösen.** Hier wird Gleichung 1 \(x\) aufgelöst: [ 7x = 11y + 1 \] \[ x = \frac{11y + 1}{7} \] 3. **Den Ausdruck für \(x\) in die andere Gleichung einsetzen.** Setze \(x = \frac{11y + 1}{7}\) in Gleichung 2 ein: \[ 14\left(\frac{11y + 1}{7}\right) - 20y = 12 \] \[ 2(11y + 1) - 20y = 12 \] \[ 22y + 2 - 20y = 12 \] \[ 2y + 2 = 12 \] \[ 2y = 10 \] \[ y = 5 \] 4. **Den Wert von \(y\) in die umgestellte Gleichung einsetzen, umx\) zu finden:** \[ x = \frac11(5) + 1}{7} \] \[ x = \frac{55 + 1}{7} \] \[ x = \frac{56}{7} \] \[ x = 8 \] 5. **Lösung des Gleichungssystems:** \[ x = 8, \quad y = 5 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also \(x = 8\) und \(y = 5\).