4 Fragen zu Häufungspunkte

Um die Häufungspunkte der Folge \( a_n = \left(1 + \frac{(-1)^n}{n}\right)^n \) zu berechnen, kann man die Folge für gerade und ungerade \( n \) getrennt betrachten. 1. **Für gerade \( n \):** Wenn \( n \) gerade ist, dann ist \( (-1)^n = 1 \). Die Folge wird dann zu: \[ a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \] Es ist bekannt, dass: \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \] Daher konvergiert die Teilfolge \( a_{2k} \) (für gerade \( n \)) gegen \( e \). 2. **Für ungerade \( n \):** Wenn \( n \) ungerade ist, dann ist \( (-1)^n = -1 \). Die Folge wird dann zu: \[ a_n = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n \] Es ist bekannt, dass: \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e} \] Daher konvergiert die Teilfolge \( a_{2k+1} \) (für ungerade \( n \)) gegen \( \frac{1}{e} \). Zusammengefasst hat die Folge \( a_n = \left(1 + \frac{(-1)^n}{n}\right)^n \) zwei Häufungspunkte: - \( e \) für die Teilfolge der geraden \( n \) - \( \frac{1}{e} \) für die Teilfolge der ungeraden \( n \)

Um die Häufungspunkte der Folge \( a_n = \sqrt[n]{2} + \cos(n\pi) \) zu berechnen, müssen wir das Verhalten der beiden Terme \( \sqrt[n]{2} \) und \( \cos(n\pi) \) untersuchen. 1. **Term \( \sqrt[n]{2} \):** - Der Ausdruck \( \sqrt[n]{2} \) konvergiert gegen 1, wenn \( n \) gegen unendlich geht. Das liegt daran, dass \( \sqrt[n]{2} = 2^{1/n} \) und \( 2^{1/n} \) gegen 1 konvergiert, da \( 1/n \) gegen 0 geht. 2. **Term \( \cos(n\pi) \):** - Der Ausdruck \( \cos(n\pi) \) wechselt zwischen 1 und -1, je nachdem, ob \( n \) gerade oder ungerade ist: - Wenn \( n \) gerade ist, dann ist \( \cos(n\pi) = 1 \). - Wenn \( n \) ungerade ist, dann ist \( \cos(n\pi) = -1 \). Nun kombinieren wir diese beiden Ergebnisse: - Für gerade \( n \): \[ a_n = \sqrt[n]{2} + 1 \] Da \( \sqrt[n]{2} \) gegen 1 konvergiert, konvergiert \( a_n \) gegen \( 1 + 1 = 2 \). - Für ungerade \( n \): \[ a_n = \sqrt[n]{2} - 1 \] Da \( \sqrt[n]{2} \) gegen 1 konvergiert, konvergiert \( a_n \) gegen \( 1 - 1 = 0 \). Daher sind die Häufungspunkte der Folge \( a_n = \sqrt[n]{2} + \cos(n\pi) \) die Werte 0 und 2.

Um die Häufungspunkte der Menge \( \left\{ \frac{1}{n} + \frac{2}{m} : m, n \in \mathbb{N} \right\} \) zu bestimmen, betrachten wir die Ausdrücke \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) für natürliche Zahlen \( m \) und \( n \). 1. **Untersuchung der Menge:** - Für \( n \) und \( m \) in \( \mathbb{N} \), sind \( \frac{1}{n} \) und \( \frac{2}{m} \) positive rationale Zahlen. - Wenn \( n \) und \( m \) gegen unendlich gehen, dann gehen sowohl \( \frac{1}{n} \) als auch \( \frac{2}{m} \) gegen 0. 2. **Grenzwerte:** - Der Ausdruck \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) kann beliebig klein werden, aber niemals 0 erreichen, da \( \frac{1}{n} \) und \( \frac{2}{m} \) immer positiv sind. - Der kleinste Wert, den \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) annehmen kann, ist, wenn \( n \) und \( m \) sehr groß sind, was gegen 0 geht. 3. **Häufungspunkte:** - Ein Häufungspunkt einer Menge ist ein Punkt, in dessen Umgebung unendlich viele Elemente der Menge liegen. - Da \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) für große \( n \) und \( m \) gegen 0 geht, ist 0 ein Häufungspunkt. - Für jeden positiven Wert \( \epsilon \), kann man \( n \) und \( m \) so wählen, dass \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} < \epsilon \), was bedeutet, dass es in jeder Umgebung von 0 unendlich viele Elemente der Menge gibt. 4. **Beweis:** - Sei \( \epsilon > 0 \). Wähle \( N \) so groß, dass \( \frac{1}{N} < \frac{\epsilon}{2} \) und \( M \) so groß, dass \( \frac{2}{M} < \frac{\epsilon}{2} \). - Dann ist \( \frac{1}{N} + \frac{2}{M} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \). - Da \( N \) und \( M \) beliebig groß gewählt werden können, gibt es unendlich viele Paare \( (n, m) \), sodass \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} < \epsilon \). Daher ist der einzige Häufungspunkt der Menge \( \left\{ \frac{1}{n} + \frac{2}{m} : m, n \in \mathbb{N} \right\} \) der Punkt 0.

Um die Häufungspunkte der Menge \( \left\{ \frac{1}{n} + \frac{2}{m} : m, n \in \mathbb{N} \right\} \) zu bestimmen, betrachten wir die Ausdrücke \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) für natürliche Zahlen \( m \) und \( n \). 1. **Untersuchung der Grenzwerte:** - Wenn \( n \to \infty \), dann \( \frac{1}{n} \to 0 \). - Wenn \( m \to \infty \), dann \( \frac{2}{m} \to 0 \). Daraus folgt, dass \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \to 0 \), wenn sowohl \( n \) als auch \( m \) gegen unendlich gehen. 2. **Häufungspunkte:** - Ein Häufungspunkt einer Menge ist ein Punkt, in dessen Umgebung unendlich viele Elemente der Menge liegen. - Da \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) beliebig klein werden kann, aber nie genau 0 erreicht, ist 0 ein Häufungspunkt. 3. **Weitere mögliche Häufungspunkte:** - Betrachten wir die Menge genauer: Für jedes feste \( n \) und \( m \), ist \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) ein positiver Wert. - Da \( \frac{1}{n} \) und \( \frac{2}{m} \) beide gegen 0 konvergieren, können wir jede positive Zahl \( x \) als Summe von zwei positiven Zahlen \( \frac{1}{n} \) und \( \frac{2}{m} \) darstellen, die gegen 0 gehen. 4. **Beweis der Häufungspunkte:** - Sei \( x \) ein beliebiger positiver Wert. Wir können \( x \) als \( x = \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) für geeignete \( n \) und \( m \) schreiben. - Für jede positive Zahl \( x \), wähle \( n \) und \( m \) so, dass \( \frac{1}{n} \approx x/2 \) und \( \frac{2}{m} \approx x/2 \). Da \( n \) und \( m \) natürliche Zahlen sind, können wir \( n \) und \( m \) so wählen, dass \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) beliebig nahe an \( x \) kommt. Daraus folgt, dass jede positive Zahl ein Häufungspunkt der Menge ist. **Zusammenfassung:** Die Menge \( \left\{ \frac{1}{n} + \frac{2}{m} : m, n \in \mathbb{N} \right\} \) hat als Häufungspunkte alle positiven reellen Zahlen.