2 Fragen zu Hammingraum

Um die Erzeugatrix eines Codes im H-R zu erstellen, fol diesen Schritten: . **Bestimme Parameter des Hamming-C**: Ein H-Code wird durch die \((n,)\) beschrieben, \(n\) die des Codeworts \(k\) Anzahl der Informationsbits. Der Hamming hat die Eigenschaft, \(n = ^m - \) und \( = n - m\ wobei \(m\ die Anzahl der Parbits ist. 2 **Erstelle dieitätsprüfmatrix \(\)**: DieitätsprüfmatrixH\) hat Dimension \(m \ n\). Jede Sp von \(H\ ist ein eindeut binärer Vektor Länge \(m\ der nicht der Nullve ist. Die Sp von \(H\ repräsentieren dieen der Bits imwort. 3. **Bestimme die Erzeugatrix \(G\)**: Die Erzeugermatrix \(G\ hat die Dimension \(k \times n\). Sie kann aus der Parprüfmatrix \(H\) abgeleitet werden. Die Matrix \(\) besteht aus einer \(k \times k\)-Einheits \(I_k\) und einer \(k \times m\)-MatrixP\), die aus den ersten \(k\) Spalten vonH\) besteht. Die Erzeugermatrix \(G\) die Form: \[ G = [I_k \, |, P] \] wobei \(I_k\) dieheitsmatrix der Größe \(k\) ist und \(P\) die ist, die aus den ersten \(k\) Spalten von \(H) besteht. 4. **Konstruiere die Matrix \(P)**: Die Matrix \(P\) wird aus den ersten \(k\ Spalten der Paritätsprüfmatrix \(H\) gebildet5. **Zusammenfügen der Erzeugermatrix**:üge die Einheitsmatrix \(I_k\) und die Matrix \(P) zusammen, um die Erzeugermatrix \(G\) zu. Beispiel für einen Hamming-Code \((7, 4): - \(n = 7\), \(k = 4\ \(m = 3\) - Paritätsprüfmatrix \(\): \[ H = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & & 0 \\ 1 & 1 & 0 &1 & 0 & 1 & 0 \\ & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 1 \end{pmatrix} \] - MatrixP\) (erste 4 Spalten von \(H\)): \[ P = \begin{pmatrix} 1 &1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 0 & 1 \\ 1 & 0 &1 & 1 \end{pmatrix} \] Einheitsmatrix \(I_4\): \[ I_ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & & 0 \\ 0 & 1 & 0 0 \\ 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] - ErzeugermatrixG\): \[ G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 &1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & & 1 \\ 0 & 0 & 0 &1 & 0 & 1 & 1 \endpmatrix} \] Diese Erzeugermatrix \(G\) verwendet werden, um die Codewörter des Hamming-Codes zu erzeugen.

Ein nichttrivialer, perfekter Code \( C \subseteq H(5, \mathbb{F}_2) \) muss aus \( 2^k \) Elementen bestehen, wobei \( k \) die Dimension des Codes ist. Da \( H(5, \mathbb{F}_2 \) der 5-dimensionale Hamming-Raum über dem endlichen Feld \( \mathbb{F}_2 \) ist, hat dieser Raum insgesamt \( 2^5 = 32 \) Elemente. Ein perfekter Code in diesem Kontext ist ein Code, bei dem jeder mögliche Vektor im Raum \( H(5, \mathbb{F}_2) \) entweder ein Codewort ist oder sich in einem bestimmten Hamming-Abstand \( t \) von genau einem Codewort befindet. Der Hamming-Abstand \( d \) eines perfekten Codes ist \( d = 2t + 1 \). Für den Hamming-Raum \( H(5, \mathbb{F}_2) \) gibt es nur einen nichttrivialen, perfekten Code, nämlich den Hamming-Code. Der Hamming-Code hat die Parameter \( [n, k, d] = [5, 2, 3] \). Das bedeutet: - Der Code hat \( 2^2 = 4 \) Codewörter. - Der Minimalabstand \( d \) des Codes ist 3. Zusammengefasst: - Ein nichttrivialer, perfekter Code \( C \subseteq H(5, \mathbb{F}_2) \) besteht aus 4 Elementen. - Der Minimalabstand \( d \) des Codes ist 3.