2 Fragen zu Herleitung

Das Rayleigh-Jeans-Gesetz und die UV-Katastrophe sind wichtige Konzepte in der Physik, insbesondere in der Strahlungstheorie. Hier ist eine einfache Herleitung und Erklärung: ### Herleitung des Rayleigh-Jeans-Gesetzes 1. **Annahme eines Hohlraumstrahlers**: Betrachte einen Hohlraumstrahler, der elektromagnetische Strahlung emittiert. Die Strahlung im Hohlraum kann als stehende Wellen beschrieben werden. 2. **Moden der stehenden Wellen**: Die Anzahl der möglichen stehenden Wellenmoden in einem Volumen \( V \) für eine bestimmte Frequenz \( \nu \) ist proportional zu \( \nu^2 \). Dies ergibt sich aus der Dichte der Zustände im Phasenraum. 3. **Energie pro Modus**: Nach der klassischen Physik hat jede Modus der stehenden Welle eine mittlere Energie von \( k_B T \), wobei \( k_B \) die Boltzmann-Konstante und \( T \) die Temperatur ist. 4. **Spektrale Energiedichte**: Die spektrale Energiedichte \( u(\nu, T) \) ist die Energie pro Volumeneinheit und Frequenzeinheit. Sie ergibt sich aus der Anzahl der Moden multipliziert mit der Energie pro Modus: \[ u(\nu, T) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} k_B T \] Hierbei ist \( c \) die Lichtgeschwindigkeit. Das ist das Rayleigh-Jeans-Gesetz: \[ u(\nu, T) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} k_B T \] ### Erklärung der UV-Katastrophe Die UV-Katastrophe bezieht sich auf die Vorhersage des Rayleigh-Jeans-Gesetzes bei hohen Frequenzen (im ultravioletten Bereich): 1. **Divergenz bei hohen Frequenzen**: Das Rayleigh-Jeans-Gesetz sagt voraus, dass die spektrale Energiedichte \( u(\nu, T) \) mit \( \nu^2 \) ansteigt. Bei sehr hohen Frequenzen (im UV-Bereich) wird die Energiedichte unendlich groß, was physikalisch nicht möglich ist. 2. **Experimentelle Diskrepanz**: Experimentell beobachtet man, dass die Strahlungsintensität bei hohen Frequenzen abnimmt, anstatt unendlich zu steigen. Dies steht im Widerspruch zum Rayleigh-Jeans-Gesetz. 3. **Lösung durch Quantenmechanik**: Die UV-Katastrophe wurde durch Max Planck gelöst, der vorschlug, dass die Energie der elektromagnetischen Wellen quantisiert ist. Dies führte zur Planckschen Strahlungsformel, die bei hohen Frequenzen eine exponentielle Abnahme der Strahlungsintensität vorhersagt und somit die UV-Katastrophe vermeidet. Zusammengefasst beschreibt das Rayleigh-Jeans-Gesetz die spektrale Energiedichte klassisch, führt aber zu unphysikalischen Ergebnissen bei hohen Frequenzen (UV-Katastrophe), was zur Entwicklung der Quantenmechanik führte.

Die Herleitung der Hertz'schen Druckverteilung erfolgt im Rahmen der Kontaktmechanik und beschreibt die Verteilung des Drucks in einem elastischen Kontakt zwischen zwei Körpern. Hier ist eine vereinfachte Übersicht der Schritte zur Herleitung: 1. **Grundannahmen**: - Zwei elastische Körper mit gekrümmten Oberflächen kommen in Kontakt. - Die Kontaktfläche ist klein im Vergleich zu den Abmessungen der Körper. - Die Verformungen sind elastisch und folgen dem Hooke'schen Gesetz. 2. **Geometrie des Kontakts**: - Die Kontaktfläche wird als elliptisch angenommen. - Die Halbachsen der Ellipse sind \(a\) und \(b\). 3. **Kontaktkräfte und Druckverteilung**: - Der Druck \(p(x, y)\) in der Kontaktfläche wird als Funktion der Koordinaten \(x\) und \(y\) beschrieben. - Hertz nahm an, dass der Druck in der Kontaktfläche eine parabolische Verteilung hat: \[ p(x, y) = p_0 \left(1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\right) \] wobei \(p_0\) der maximale Druck in der Mitte der Kontaktfläche ist. 4. **Maximaler Druck und Kontaktfläche**: - Der maximale Druck \(p_0\) und die Dimensionen der Kontaktellipse \(a\) und \(b\) hängen von den Materialeigenschaften (Elastizitätsmodul \(E\) und Poissonzahl \(\nu\)) und den Krümmungsradien der Oberflächen ab. 5. **Gleichgewicht der Kräfte**: - Die gesamte Normalkraft \(F\), die auf die Kontaktfläche wirkt, muss gleich der Integration des Drucks über die Kontaktfläche sein: \[ F = \int_{-a}^{a} \int_{-b}^{b} p(x, y) \, dx \, dy \] - Durch Einsetzen der Druckverteilung und Integration ergibt sich: \[ F = \frac{2}{3} \pi a b p_0 \] 6. **Material- und Geometrieabhängigkeit**: - Die Halbachsen \(a\) und \(b\) der Kontaktellipse können durch die Krümmungsradien \(R_1\) und \(R_2\) der beiden Körper und deren Materialeigenschaften bestimmt werden. 7. **Zusammenfassung der Ergebnisse**: - Die resultierende Druckverteilung und die Dimensionen der Kontaktfläche sind Funktionen der Normalkraft, der Krümmungsradien und der Materialeigenschaften. Für eine detaillierte mathematische Herleitung und die genauen Formeln empfiehlt es sich, ein Lehrbuch zur Kontaktmechanik oder Elastizitätstheorie zu konsultieren, wie z.B. "Contact Mechanics" von K.L. Johnson.