30 Fragen zu Kantenlänge

Die Oberfläche eines Würfels wird durch die Formel \( O = 6a^2 \) berechnet, wobei \( a \) die Kantenlänge des Würfels ist. Wenn die Kantenlänge verdreifacht wird, also \( a' = 3a \), ändert sich die Oberfläche wie folgt: 1. Neue Kantenlänge: \( a' = 3a \) 2. Neue Oberfläche: \( O' = 6(a')^2 = 6(3a)^2 = 6 \cdot 9a^2 = 54a^2 \) Die ursprüngliche Oberfläche war \( O = 6a^2 \). Wenn man die neue Oberfläche \( O' = 54a^2 \) betrachtet, sieht man, dass die neue Oberfläche 9-mal so groß ist wie die ursprüngliche Oberfläche: \[ \frac{O'}{O} = \frac{54a^2}{6a^2} = 9 \] Das bedeutet, dass sich die Oberfläche des Würfels bei einer Verdopplung der Kantenlänge um den Faktor 9 erhöht.

Wenn du jede Kantenlänge eines Quaders auf das \(3 \frac{1}{2}\)-fache (also \(3,5\)-fache) verlängerst, verändert sich das Volumen wie folgt: Das Volumen \(V\) eines Quaders wird berechnet mit der Formel: \[ V = a \cdot b \cdot c \] wobei \(a\), \(b\) und \(c\) die Kantenlängen sind. Wenn jede Kantenlänge auf das \(3,5\)-fache verlängert wird, sind die neuen Kantenlängen: \[ a' = 3,5a \] \[ b' = 3,5b \] \[ c' = 3,5c \] Das neue Volumen \(V'\) ist dann: \[ V' = a' \cdot b' \cdot c' = (3,5a) \cdot (3,5b) \cdot (3,5c) \] Das vereinfacht sich zu: \[ V' = 3,5^3 \cdot (a \cdot b \cdot c) = 3,5^3 \cdot V \] Berechnen wir \(3,5^3\): \[ 3,5^3 = 42,875 \] Das bedeutet, das neue Volumen ist \(42,875\) mal so groß wie das ursprüngliche Volumen.

Der Oberflächeninhalt eines Quaders wird durch die Formel \( A = 2(ab + ac + bc) \) berechnet, wobei \( a \), \( b \) und \( c \) die Kantenlängen des Quaders sind. Wenn jede Kantenlänge verdreifacht wird, also \( a' = 3a \), \( b' = 3b \) und \( c' = 3c \), dann ergibt sich der neue Oberflächeninhalt \( A' \) wie folgt: \[ A' = 2((3a)(3b) + (3a)(3c) + (3b)(3c)) = 2(9ab + 9ac + 9bc) = 18(ab + ac + bc) = 9 \cdot 2(ab + ac + bc) = 9A \] Das bedeutet, dass sich der Oberflächeninhalt des Quaders um den Faktor 9 erhöht, wenn jede Kantenlänge verdreifacht wird.

Das Volumen eines Quaders wird berechnet, indem man die Längen der drei Kanten multipliziert. Wenn die Kantenlängen eines Quaders a, b und c sind, dann ist das Volumen V = a * b * c. Wenn jede Kantenlänge verdreifacht wird, werden die neuen Kantenlängen 3a, 3b und 3c. Das neue Volumen V' berechnet sich dann zu: V' = (3a) * (3b) * (3c) = 27 * (a * b * c) = 27V. Das bedeutet, dass sich das Volumen des Quaders um den Faktor 27 erhöht, wenn jede Kantenlänge verdreifacht wird.

Wenn die Kantenlänge eines Würfels verdoppelt wird, wird das Volumen des Würfels um das Achtfache größer. Das Volumen \( V \) eines Würfels mit der Kantenlänge \( a \) wird durch die Formel \( V = a^3 \) berechnet. Wenn die Kantenlänge verdoppelt wird, also \( a \) durch \( 2a \) ersetzt wird, ergibt sich das neue Volumen \( V' \) als: \[ V' = (2a)^3 = 8a^3 \] Das neue Volumen ist also achtmal so groß wie das ursprüngliche Volumen.

Der Flächeninhalt eines Quadrates berechnet sich mit der Formel \( A = a^2 \), wobei \( a \) die Kantenlänge ist. Für ein Quadrat mit der Kantenlänge 6 cm: \[ A_1 = 6^2 = 36 \, \text{cm}^2 \] Wenn die Kantenlänge halbiert wird, beträgt die neue Kantenlänge 3 cm: \[ A_2 = 3^2 = 9 \, \text{cm}^2 \] Die Änderung des Flächeninhalts ist die Differenz zwischen den beiden Flächeninhalten: \[ \Delta A = A_1 - A_2 = 36 \, \text{cm}^2 - 9 \, \text{cm}^2 = 27 \, \text{cm}^2 \] Der Flächeninhalt ändert sich also um 27 Quadratzentimeter.

Der Flächeninhalt eines Quadrates berechnet sich durch die Formel \( A = a^2 \), wobei \( a \) die Kantenlänge ist. Für ein Quadrat mit einer Kantenlänge von 6 cm ist der Flächeninhalt: \[ A_1 = 6^2 = 36 \, \text{cm}^2 \] Wenn die Kantenlänge verdoppelt wird, beträgt die neue Kantenlänge 12 cm. Der neue Flächeninhalt ist dann: \[ A_2 = 12^2 = 144 \, \text{cm}^2 \] Die Änderung des Flächeninhalts ist die Differenz zwischen dem neuen und dem ursprünglichen Flächeninhalt: \[ \Delta A = A_2 - A_1 = 144 \, \text{cm}^2 - 36 \, \text{cm}^2 = 108 \, \text{cm}^2 \] Der Flächeninhalt ändert sich also um 108 Quadratzentimeter.

Um die Änderung des Flächeninhalts eines Quadrats zu berechnen, wenn die Kantenlänge um 2 cm vergrößert wird, kann man wie folgt vorgehen: 1. Berechne den ursprünglichen Flächeninhalt des Quadrats: \[ A_{\text{alt}} = 6 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 36 \, \text{cm}^2 \] 2. Berechne die neue Kantenlänge des Quadrats: \[ \text{Neue Kantenlänge} = 6 \, \text{cm} + 2 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm} \] 3. Berechne den neuen Flächeninhalt des Quadrats: \[ A_{\text{neu}} = 8 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm} = 64 \, \text{cm}^2 \] 4. Berechne die Änderung des Flächeninhalts: \[ \Delta A = A_{\text{neu}} - A_{\text{alt}} = 64 \, \text{cm}^2 - 36 \, \text{cm}^2 = 28 \, \text{cm}^2 \] Der Flächeninhalt des Quadrats ändert sich also um 28 Quadratzentimeter.

Ein Dodekaeder ist ein platonischer Körper mit 12 regelmäßigen Fünfecken als Flächen. Die Formel zur Berechnung der Oberfläche \(A\) eines Dodekaeders mit der Kantenlänge \(a\) lautet: \[ A = 3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot a^2 \] Setze \(a = 3{,}5 \, \text{cm}\) in die Formel ein: \[ A = 3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot (3{,}5)^2 \] Berechne zuerst \((3{,}5)^2\): \[ (3{,}5)^2 = 12{,}25 \] Nun setze dies in die Formel ein: \[ A = 3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot 12{,}25 \] Berechne den Ausdruck unter der Wurzel: \[ 25 + 10\sqrt{5} \approx 25 + 10 \cdot 2{,}236 = 25 + 22{,}36 = 47{,}36 \] Nun die Wurzel ziehen: \[ \sqrt{47{,}36} \approx 6{,}88 \] Setze dies in die Formel ein: \[ A = 3 \cdot 6{,}88 \cdot 12{,}25 \] Multipliziere die Werte: \[ A \approx 3 \cdot 6{,}88 \cdot 12{,}25 = 3 \cdot 84{,}28 = 252{,}84 \] Die Oberfläche des Dodekaeders beträgt also ungefähr \(252{,}84 \, \text{cm}^2\).

Die Oberfläche eines Tetraeders kann mit der Formel \( A = \sqrt{3} \cdot a^2 \) berechnet werden, wobei \( a \) die Kantenlänge ist. Für eine Kantenlänge 9,4 cm lautet die Berechnung: \[ A = \sqrt{3} \cdot (9,4 \, \text{cm})^2 \] \[ A = \sqrt{3} \cdot 88,36 \, \text{cm}^2 \] \[ A \approx 1,732 \cdot 88,36 \, \text{cm}^2 \] \[ A \approx 153,05 \, \text{cm}^2 \] Die Oberfläche des Tetraeders beträgt also ungefähr 153,05 cm².

Ein Oktaeder besteht aus acht gleichseitigen Dreiecken. Die Oberfläche eines Oktaeders kann berechnet werden, indem die Fläche eines dieser Dreiecke mit acht multipliziert wird. Die Fläche \( A \) eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge \( a \) kann mit der Formel berechnet werden: \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Für ein Oktaeder mit einer Kantenlänge von 7,5 cm ist die Fläche eines Dreiecks: \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} (7,5)^2 \] \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 56,25 \] \[ A = 14,0625 \sqrt{3} \] Die gesamte Oberfläche \( O \) des Oktaeders ist dann: \[ O = 8 \times 14,0625 \sqrt{3} \] \[ O = 112,5 \sqrt{3} \] Der numerische Wert von \( \sqrt{3} \) ist ungefähr 1,732. Daher: \[ O \approx 112,5 \times 1,732 \] \[ O \approx 194,85 \] Die Oberfläche des Oktaeders beträgt also ungefähr 194,85 cm².

Das Volumen \( V \) eines Oktaeders kann mit der Formel \[ V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3 \] berechnet werden, wobei \( a \) die Kantenlänge ist. Wenn die Kantenlänge \( a = 7,5 \) cm beträgt, dann ist das Volumen: \[ V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot (7,5)^3 \] Zuerst berechnen wir \( (7,5)^3 \): \[ (7,5)^3 = 7,5 \cdot 7,5 \cdot 7,5 = 421,875 \] Nun setzen wir das in die Volumenformel ein: \[ V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 421,875 \] \[ V \approx \frac{1,414}{3} \cdot 421,875 \] \[ V \approx 0,471 \cdot 421,875 \] \[ V \approx 198,75 \] Das Volumen des Oktaeders beträgt also ungefähr 198,75 cm³.

Ein Hexaeder, auch als Würfel bekannt, hat sechs gleich große quadratische Flächen. Die Oberfläche eines Würfels berechnet sich durch die Formel: \[ \text{Oberfläche} = 6 \times a^2 \] wobei \( a \) die Kantenlänge des Würfels ist. Wenn die Kantenlänge \( 6 \) cm beträgt, dann ist die Berechnung wie folgt: \[ \text{Oberfläche} = 6 \times (6 \, \text{cm})^2 = 6 \times 36 \, \text{cm}^2 = 216 \, \text{cm}^2 \] Die Oberfläche des Hexaeders beträgt also 216 cm².

Ein Hexaeder, auch als Würfel bekannt, hat sechs gleich große quadratische Flächen. Das Volumen \( V \) eines Würfels berechnet sich mit der Formel: \[ V = a^3 \] wobei \( a \) die Kantenlänge des Würfels ist. Wenn die Kantenlänge \( a = 6 \) cm beträgt, dann ist das Volumen: \[ V = 6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216 \text{ cm}^3 \] Das Volumen des Hexaeders beträgt also 216 cm³.

Ein Würfel hat insgesamt 12 Kanten. Wenn die Kantenlänge eines Würfels \( a \) beträgt, dann ist die gesamte Kantenlänge des Würfels \( 12a \). Der Anteil einer einzelnen Kantenlänge an der gesamten Kantenlänge ist daher: \[ \frac{a}{12a} = \frac{1}{12} \] Das bedeutet, eine einzelne Kantenlänge macht \(\frac{1}{12}\) oder etwa 8,33 % der gesamten Kantenlänge des Würfels aus.