5 Fragen zu Kantenlängen

Wenn du jede Kantenlänge eines Quaders auf das \(3 \frac{1}{2}\)-fache (also \(3,5\)-fache) verlängerst, verändert sich das Volumen wie folgt: Das Volumen \(V\) eines Quaders wird berechnet mit der Formel: \[ V = a \cdot b \cdot c \] wobei \(a\), \(b\) und \(c\) die Kantenlängen sind. Wenn jede Kantenlänge auf das \(3,5\)-fache verlängert wird, sind die neuen Kantenlängen: \[ a' = 3,5a \] \[ b' = 3,5b \] \[ c' = 3,5c \] Das neue Volumen \(V'\) ist dann: \[ V' = a' \cdot b' \cdot c' = (3,5a) \cdot (3,5b) \cdot (3,5c) \] Das vereinfacht sich zu: \[ V' = 3,5^3 \cdot (a \cdot b \cdot c) = 3,5^3 \cdot V \] Berechnen wir \(3,5^3\): \[ 3,5^3 = 42,875 \] Das bedeutet, das neue Volumen ist \(42,875\) mal so groß wie das ursprüngliche Volumen.

Der Oberflächeninhalt eines Quaders wird durch die Formel \( A = 2(ab + ac + bc) \) berechnet, wobei \( a \), \( b \) und \( c \) die Kantenlängen des Quaders sind. Wenn jede Kantenlänge verdreifacht wird, also \( a' = 3a \), \( b' = 3b \) und \( c' = 3c \), dann ergibt sich der neue Oberflächeninhalt \( A' \) wie folgt: \[ A' = 2((3a)(3b) + (3a)(3c) + (3b)(3c)) = 2(9ab + 9ac + 9bc) = 18(ab + ac + bc) = 9 \cdot 2(ab + ac + bc) = 9A \] Das bedeutet, dass sich der Oberflächeninhalt des Quaders um den Faktor 9 erhöht, wenn jede Kantenlänge verdreifacht wird.

Nein, der Oberflächeninhalt eines Würfels verdoppelt sich nicht, wenn man alle Kantenlängen verdoppelt. Wenn die Kantenlänge eines Würfels \(a\) ist, dann ist der Oberflächeninhalt \(6a^2\). Wenn man die Kantenlänge verdoppelt, wird die neue Kantenlänge \(2a\). Der neue Oberflächeninhalt ist dann \(6(2a)^2 = 6 \cdot 4a^2 = 24a^2\). Das bedeutet, der Oberflächeninhalt vervierfacht sich, nicht verdoppelt.

Das Volumen eines Quaders berechnest du, indem du die Längen der drei Kanten miteinander multiplizierst. In deinem Fall sind die Kantenlängen 2, 2 und 4. Die Formel für das Volumen \( V \) lautet: \[ V = a \times b \times c \] Setze die Werte ein: \[ V = 2 \times 2 \times 4 \] Rechne das aus: \[ V = 16 \] Das Volumen des Quaders beträgt also 16 Kubikeinheiten.

Der Oberflächeninhalt eines Quaders wird berechnet, indem man die Flächen aller sechs Seiten addiert. Ein Quader hat drei verschiedene Paare von gegenüberliegenden Flächen. Wenn die Kantenlängen 3, 4 und 5 sind, dann sind die Flächen der Paare: 1. Fläche 1: \(3 \times 4 = 12\) 2. Fläche 2: \(3 \times 5 = 15\) 3. Fläche 3: \(4 \times 5 = 20\) Da jede dieser Flächen zweimal vorkommt, ist der Oberflächeninhalt: \[2 \times (12 + 15 + 20) = 2 \times 47 = 94\] Der Oberflächeninhalt des Quaders beträgt also 94 Quadrat-Einheiten.