2 Fragen zu Konvergente

Um zu zeigen, dass eine reelle konvergente Folge höchstens abzählbar ist, kann man folgende Argumentation verwenden: 1. **Definition der Folge und Konvergenz**: Eine Folge \((a_n)\) in \(\mathbb{R}\) ist konvergent, wenn es einen Grenzwert \(L \in \mathbb{R}\) gibt, sodass für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, für das gilt: \(|a_n - L| < \epsilon\) für alle \(n \geq N\). 2. **Abzählbarkeit der natürlichen Zahlen**: Die Menge der natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) ist per Definition abzählbar. 3. **Abzählbarkeit der Folgenglieder**: Da die Folge \((a_n)\) eine Abbildung von \(\mathbb{N}\) nach \(\mathbb{R}\) ist, ist die Menge der Folgenglieder \(\{a_n : n \in \mathbb{N}\}\) eine Teilmenge von \(\mathbb{R}\). 4. **Endliche und unendliche Teilmengen**: Jede endliche Menge ist abzählbar. Wenn die Menge der Folgenglieder endlich ist, ist sie offensichtlich abzählbar. 5. **Unendliche Teilmengen**: Wenn die Menge der Folgenglieder unendlich ist, dann ist sie eine abzählbare unendliche Menge, weil sie eine Abbildung von \(\mathbb{N}\) ist. Jede unendliche Teilmenge von \(\mathbb{N}\) ist abzählbar. 6. **Schlussfolgerung**: Da die Menge der Folgenglieder einer konvergenten Folge entweder endlich oder eine abzählbare unendliche Menge ist, folgt daraus, dass die Menge der Folgenglieder höchstens abzählbar ist. Zusammengefasst: Eine reelle konvergente Folge ist eine Abbildung von \(\mathbb{N}\) nach \(\mathbb{R}\), und da \(\mathbb{N}\) abzählbar ist, ist auch die Menge der Folgenglieder höchstens abzählbar.

Um den Grenzwert einer konvergenten Reihe zu berechnen, folge diesen Schritten: 1. **Definition der Reihe**: Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge. Sei \(\{a_n\}\) eine Folge, dann ist die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\). 2. **Partialsummen**: Definiere die n-te Partialsumme \(S_n\) als die Summe der ersten n Glieder der Reihe: \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \] 3. **Grenzwert der Partialsummen**: Wenn die Folge der Partialsummen \(\{S_n\}\) einen Grenzwert \(S\) hat, dann konvergiert die Reihe und ihr Grenzwert ist \(S\): \[ S = \lim_{n \to \infty} S_n \] 4. **Berechnung des Grenzwerts**: Um den Grenzwert \(S\) zu berechnen, bestimme den Grenzwert der Partialsummenfolge \(\{S_n\}\). Dies kann durch analytische Methoden, bekannte Summenformeln oder Konvergenztests geschehen. **Beispiel**: Betrachte die geometrische Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty} ar^n\) mit \(|r| < 1\). - Die n-te Partialsumme ist: \[ S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n = a \frac{1-r^{n+1}}{1-r} \] - Der Grenzwert der Partialsummenfolge ist: \[ S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} a \frac{1-r^{n+1}}{1-r} = \frac{a}{1-r} \] Daher konvergiert die geometrische Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty} ar^n\) zu \(\frac{a}{1-r}\), wenn \(|r| < 1\). Für andere Reihen können unterschiedliche Methoden wie der Vergleichstest, das Quotientenkriterium oder das Wurzelkriterium angewendet werden, um die Konvergenz zu überprüfen und den Grenzwert zu berechnen.