1 Frage zu Kovarianzmatrix

Um die Kovarianzmatrix einer nichtlinearen Regression zu bestimmen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Modellformulierung**: Definiere das nichtlineare Modell \( y = f(x, \beta) + \epsilon \), wobei \( y \) die abhängige Variable, \( x \) die unabhängige Variable, \( \beta \) die Parameter des Modells und \( \epsilon \) der Fehlerterm ist. 2. **Parameter schätzen**: Schätze die Parameter \( \beta \) des Modells durch nichtlineare Regression. Dies kann z.B. mit dem Levenberg-Marquardt-Algorithmus erfolgen, der eine Kombination aus Gradientenabstieg und Gauss-Newton-Verfahren ist. 3. **Jacobi-Matrix berechnen**: Berechne die Jacobi-Matrix \( J \) der partiellen Ableitungen des Modells \( f(x, \beta) \) bezüglich der Parameter \( \beta \). Die Jacobi-Matrix hat die Form: \[ J_{ij} = \frac{\partial f(x_i, \beta)}{\partial \beta_j} \] wobei \( i \) über die Datenpunkte und \( j \) über die Parameter läuft. 4. **Fehlerterme schätzen**: Schätze die Varianz der Fehlerterme \( \sigma^2 \). Dies kann durch die mittlere quadratische Abweichung der Residuen erfolgen: \[ \sigma^2 = \frac{1}{n - p} \sum_{i=1}^n (y_i - f(x_i, \hat{\beta}))^2 \] wobei \( n \) die Anzahl der Datenpunkte und \( p \) die Anzahl der Parameter ist. 5. **Kovarianzmatrix berechnen**: Die Kovarianzmatrix der Parameter \( \beta \) wird dann durch: \[ \text{Cov}(\beta) = \sigma^2 (J^T J)^{-1} \] berechnet, wobei \( J^T \) die Transponierte der Jacobi-Matrix ist. Diese Schritte können mit statistischen Softwarepaketen wie R, Python (mit Bibliotheken wie SciPy oder Statsmodels) oder MATLAB durchgeführt werden. Hier ein Beispiel in Python: ```python import numpy as np from scipy.optimize import curve_fit # Beispiel für ein nichtlineares Modell def model(x, a, b): return a * np.exp(b * x) # Daten x_data = np.array([1, 2, 3, 4, 5]) y_data = np.array([2.3, 2.9, 3.8, 5.1, 7.2]) # Parameter schätzen popt, pcov = curve_fit(model, x_data, y_data) # popt enthält die geschätzten Parameter # pcov ist die Kovarianzmatrix der geschätzten Parameter print("Geschätzte Parameter:", popt) print("Kovarianzmatrix der Parameter:", pcov) ``` In diesem Beispiel wird die Funktion `curve_fit` aus SciPy verwendet, um die Parameter des Modells zu schätzen und die Kovarianzmatrix zu berechnen.