3 Fragen zu Kreuzprodukt

Um das Kreuzprodukt \((5, -2, 1) \times ((-, -1, -3) \times (2, 3, 2))\) zu berechnen, musst du zuerst das innere Kreuzprodukt \((-4, -1, -3) \times (2, 3, 2)\) berechnen und dann das äußere Kreuzprodukt mit \((5, -2, 1)\). 1. Berechne das innere Kreuzprodukt \((-4, -1, -3) \times (2, 3, 2)\): \[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & -1 & -3 \\ 2 & 3 & 2 \end{vmatrix} \] Das ergibt: \[ \mathbf{i}((-1 \cdot 2) - (-3 \cdot 3)) - \mathbf{j}((-4 \cdot 2) - (-3 \cdot 2)) + \mathbf{k}((-4 \cdot 3) - (-1 \cdot 2)) \] \[ = \mathbf{i}(-2 + 9) - \mathbf{j}(-8 + 6) + \mathbf{k}(-12 + 2) \] \[ = \mathbf{i}(7) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(-10) \] \[ = (7, 2, -10) \] 2. Berechne das äußere Kreuzprodukt \((5, -2, 1) \times (7, 2, -10)\): \[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & -2 & 1 \\ 7 & 2 & -10 \end{vmatrix} \] Das ergibt: \[ \mathbf{i}((-2 \cdot -10) - (1 \cdot 2)) - \mathbf{j}((5 \cdot -10) - (1 \cdot 7)) + \mathbf{k}((5 \cdot 2) - (-2 \cdot 7)) \] \[ = \mathbf{i}(20 - 2) - \mathbf{j}(-50 - 7) + \mathbf{k}(10 + 14) \] \[ = \mathbf{i}(18) - \mathbf{j}(-57) + \mathbf{k}(24) \] \[ = (18, 57, 24) \] Das Ergebnis des Kreuzprodukts \((5, -2, 1) \times ((-4, -1, -3) \times (2, 3, 2))\) ist also \((18, 57, 24)\).

Um diese Aufgabe zu lösen, musst du zuerst das Kreuzprodukt der beiden Vektoren \((3, 4, -1)\) und \((2, -3, 4)\) berechnen und dann das Ergebnis mit dem Vektor \((-2, 1, -4)\) multiplizieren. 1. Berechnung des Kreuzprodukts \((3, 4, -1) \times (2, -3, 4)\): \[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ 2 & -3 & 4 \end{vmatrix} \] Das ergibt: \[ \mathbf{i}(4 \cdot 4 - (-1) \cdot (-3)) - \mathbf{j}(3 \cdot 4 - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}(3 \cdot (-3) - 4 \cdot 2) \] \[ = \mathbf{i}(16 - 3) - \mathbf{j}(12 - (-2)) + \mathbf{k}(-9 - 8) \] \[ = \mathbf{i}(13) - \mathbf{j}(14) + \mathbf{k}(-17) \] \[ = (13, -14, -17) \] 2. Skalarprodukt des Ergebnisses mit \((-2, 1, -4)\): \[ (13, -14, -17) \cdot (-2, 1, -4) \] Das ergibt: \[ 13 \cdot (-2) + (-14) \cdot 1 + (-17) \cdot (-4) \] \[ = -26 - 14 + 68 \] \[ = 28 \] Das Endergebnis ist also \(28\).

Um zu zeigen, dass \( \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} \), kannst du die Vektoridentität für das Kreuzprodukt verwenden. Diese Identität ist als Lagrangesche Identität bekannt und lautet: \[ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} \] Hier ist der Beweis: 1. **Definition des Kreuzprodukts**: Das Kreuzprodukt zweier Vektoren \(\mathbf{u}\) und \(\mathbf{v}\) ist ein Vektor, der senkrecht auf beiden Vektoren steht und dessen Richtung durch die Rechte-Hand-Regel bestimmt wird. Mathematisch ist es definiert als: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} \] 2. **Doppelte Kreuzprodukte**: Für das doppelte Kreuzprodukt \(\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\), kannst du die Vektoridentität verwenden: \[ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} \] 3. **Skalarprodukte**: Das Skalarprodukt (oder Punktprodukt) zweier Vektoren \(\mathbf{u}\) und \(\mathbf{v}\) ist definiert als: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \] 4. **Anwendung der Identität**: Setze die Vektoren \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) und \(\mathbf{c}\) in die Identität ein: \[ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} \] Damit ist gezeigt, dass \( \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \) gleich \( (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} \) ist.