3 Fragen zu Linearfaktorzerlegung

Die Linearfaktorzerlegung ist eine Methode, um ein Polynom in Produkte von Linearfaktoren zu zerlegen. Wenn du die Nullstellen eines Polynoms kennst, kannst du es in der Form \( f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n) \) schreiben wobei \( r_1, r_2, ..., r_n \) die Nullstellen sind und \( a \) ein Koeffizient ist. In deinem Fall hast du die Nullstellen \( S(-3) \) und \( S(3) \). Das bedeutet, dass die Linearfaktoren \( (x + 3) \) und \( (x - 3) \) sind. Wenn du also ein Polynom mit diesen Nullstellen aufstellen möchtest, sieht die Linearfaktorzerlegung so aus: \[ f(x) = a(x + 3)(x - 3) \] Das Produkt \( (x + 3)(x - 3) \) ergibt \( x^2 - 9 \). Wenn du den Koeffizienten \( a \) auf 1 setzt, erhältst du: \[ f(x) = x^2 - 9 \] Das ist die Linearfaktorzerlegung des Polynoms mit den Nullstellen -3 und 3.

Die Linearfaktorzerlegung ist eine Methode, um ein Polynom in Produkte von Linearfaktoren zu zerlegen. Bei einem Polynom \( P(x) \) mit den Nullstellen \( r_1, r_2, \ldots, r_n \) kann die Zerlegung in der Form \( P(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \ldots (x - r_n) \) dargestellt werden, wobei \( a \) der führende Koeffizient ist. Für das Polynom \( S(x) = x^2 - 16 \) (was aus den Nullstellen \( 4 \) und \( -4 \) abgeleitet werden kann) ist die Linearfaktorzerlegung: \[ S(x) = (x - 4)(x + 4) \] Die Nullstellen sind also \( x = 4 \) und \( x = -4 \).

Die Linearfaktorzerlegung ist eine Methode zur Darstellung eines Polynoms Produkt von Linearfaktoren. einem Polynom \( P(x) \) mit Nullstellen \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) kann es in der Form geschrieben werden: \[ P(x) = a \cdot ( - x_1)(x - x_2) \ldots (x - x_n) \] wobei \( a \) ein Koeffizient ist. Wenn du die Nullstellen \( S(-4) \) und \( S(0) \) hast, bedeutet das, dass das Polynom bei \( x = -4 \) und \( x = 0 \) den Wert 0 annimmt. Die entsprechenden Linearfaktoren wären also: \[ (x + 4) \quad \text{und} \quad x \] Das Polynom könnte dann in der einfachsten Form wie folgt aussehen: \[ P(x) = a \cdot (x + 4) \cdot x \] Hierbei ist \( a \) ein beliebiger Koeffizient, der den Grad und die Form des Polynoms bestimmt. Wenn \( a = 1 \) ist, wäre das Polynom: \[ P(x) = x(x + 4) = x^2 + 4x \] Die Nullstellen sind also \( -4 \) und \( 0 \).