21 Fragen zu Lösungsmenge

Um die Lösungsmenge einer quadratischen Funktion zu berechnen, folge diesen Schritten: 1. **Form der Funktion**: Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \), wobei \( a \), \( b \) und \( c \) Konstanten sind und \( a \neq 0 \). 2. **Bestimmung der Diskriminante**: Berechne die Diskriminante \( D \) mit der Formel: \[ D = b^2 - 4ac \] 3. **Analyse der Diskriminante**: - **Wenn \( D > 0 \)**: Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen. Diese können mit der Mitternachtsformel (Quadratische Formel) berechnet werden: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] - **Wenn \( D = 0 \)**: Es gibt eine doppelte reelle Lösung. Diese wird ebenfalls mit der Mitternachtsformel berechnet: \[ x = \frac{-b}{2a} \] - **Wenn \( D < 0 \)**: Es gibt keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen. Diese können ebenfalls mit der Mitternachtsformel gefunden werden, wobei die Wurzel von \( D \) imaginär ist: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-D}}{2a} \] 4. **Lösungsmenge**: Die Lösungsmenge wird dann in der Form \( \{ x_1, x_2 \} \) oder \( \{ x \} \) (bei doppelter Lösung) oder als leerer Raum \( \emptyset \) (bei keinen reellen Lösungen) angegeben. Durch diese Schritte kannst du die Lösungsmenge einer quadratischen Funktion bestimmen.

Um die Lösungsmenge des gegebenen Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren zu bestimmen, betrachten wir die beiden Gleichungen: 1. \( 3x + 5y = 2 \) (Gleichung 1) 2. \( -15x + 25y = -19 \) (Gleichung 2) Zuerst können wir die zweite Gleichung so umformen, dass sie einfacher zu handhaben ist. Wir teilen die gesamte Gleichung durch -5: \[ 3x - 5y = 3.8 \quad \text{(Gleichung 2 umgeformt)} \] Jetzt haben wir das Gleichungssystem: 1. \( 3x + 5y = 2 \) 2. \( 3x - 5y = 3.8 \) Nun subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten: \[ (3x - 5y) - (3x + 5y) = 3.8 - 2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ -10y = 1.8 \] Nun lösen wir nach \( y \) auf: \[ y = \frac{1.8}{-10} = -0.18 \] Jetzt setzen wir den Wert von \( y \) in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein, um \( x \) zu finden. Wir verwenden die erste Gleichung: \[ 3x + 5(-0.18) = 2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 3x - 0.9 = 2 \] Nun addieren wir 0.9 zu beiden Seiten: \[ 3x = 2 + 0.9 \] \[ 3x = 2.9 \] Jetzt teilen wir durch 3: \[ x = \frac{2.9}{3} \approx 0.9667 \] Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist somit: \[ \left( x, y \right) = \left( \frac{2.9}{3}, -0.18 \right) \quad \text{oder} \quad \left( 0.9667, -0.18 \right) \]

Um die Lösungsmenge der Gleichung \(0 = 4 - 8t\) zu bestimmen, folge diesen Schritten: 1. **Umstellen der Gleichung**: \[ 8t = 4 \] 2. **Lösen nach \(t\)**: \[ t = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] Die Lösungsmenge ist also \(t = \frac{1}{2}\). 3. **Probe**: Setze \(t = \frac{1}{2}\) in die ursprüngliche Gleichung ein: \[ 0 = 4 - 8 \cdot \frac{1}{2} \] \[ 0 = 4 - 4 \] \[ 0 = 0 \] Die Probe bestätigt die Lösung. Die Lösungsmenge ist \(t = \frac{1}{2}\).

Um drei verschiedene quadratische Gleichungen zu erstellen, deren Lösungsmenge \( \frac{2}{3} \) ist, können wir die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung \( ax^2 + bx + c = 0 \) verwenden. Eine quadratische Gleichung hat die Lösung \( x = \frac{2}{3} \), wenn sie in der Form \( a(x - \frac{2}{3})^2 = 0 \) geschrieben werden kann. Hier sind drei verschiedene Beispiele: 1. **Gleichung 1:** \[ 3(x - \frac{2}{3})^2 = 0 \implies 3(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}) = 0 \implies 3x^2 - 4x + \frac{4}{3} = 0 \] 2. **Gleichung 2:** \[ 2(x - \frac{2}{3})^2 = 0 \implies 2(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}) = 0 \implies 2x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{8}{9} = 0 \] 3. **Gleichung 3:** \[ 1(x - \frac{2}{3})^2 = 0 \implies 1(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}) = 0 \implies x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = 0 \] Alle drei Gleichungen haben die Lösung \( x = \frac{2}{3} \).

Um eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 + px q = 0\) zu erstellen, deren Lösungsmenge 15 ist, müssen wir zunächst verstehen, dass die Lösungsmenge 15 bedeutet, dass 15 eine der Lösungen der Gleichung ist. Wenn 15 eine Lösung ist, können wir die Gleichung in der Form \( (x - 15)(x - r) = 0 \) schreiben, wobei \(r\) die zweite Lösung ist. Daraus ergibt sich: \[ x^2 - (15 + r)x + (15r) = 0 \] Hierbei ist \(p = -(15 + r)\) und \(q = 15r\). Um die spezifischen Werte für \(p\) und \(q\) zu bestimmen, benötigst du einen Wert für \(r\). Wenn du zum Beispiel \(r = 0\) wählst, erhältst du: \[ p = -15 \quad \text{und} \quad q = 0 \] Die quadratische Gleichung wäre dann: \[ x^2 - 15x = 0 \] Wenn du einen anderen Wert für \(r\) wählst, ändert sich entsprechend \(p\) und \(q\).

Um die Lösungsmenge der Gleichung \(\frac{1}{2}x - 7x + 12 = 0\) zu finden, folge diesen Schritten: 1. Kombiniere die \(x\)-Terme: \[ \frac{1}{2}x - 7x = \frac{1}{2}x - \frac{14}{2}x = \frac{1 - 14}{2}x = -\frac{13}{2}x \] Die Gleichung wird zu: \[ -\frac{13}{2}x + 12 = 0 \] 2. Isoliere den \(x\)-Term: \[ -\frac{13}{2}x = -12 \] 3. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \(-\frac{2}{13}\), um \(x\) zu isolieren: \[ x = -12 \cdot -\frac{2}{13} = \frac{24}{13} \] Die Lösungsmenge ist: \[ \left\{ \frac{24}{13} \right\} \]

Um die Lösungsmengen der gegebenen Gleichungen zu bestimmen, müssen die Gleichungen nach \( x \) aufgelöst werden. Hier sind die Schritte für jede Gleichung: 1. \( x^{0,25} = 3 \) \[ x = 3^{4} = 81 \] Lösung: \( x = 81 \) 2. \( x^{\frac{4}{3}} = 16 \) \[ x = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \] Lösung: \( x = 8 \) 3. \( x^{2,5} = 32 \) \[ x = 32^{\frac{1}{2,5}} = 32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4 \] Lösung: \( x = 4) 4. \( x^{-\frac{3}{2}} = 8 \) \[ x^{-\frac{3}{2}} = 8 \implies x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{8} \] \[ x = \left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(2^{-3}\right)^{\frac{2}{3}} = 2^{-2} = \frac{1}{4} \] Lösung: \( x = \frac{1}{4} \) 5. \( x^{-0,75} = \frac{1}{8} \) \[ x^{-0,75} = \frac{1}{8} \implies x^{0,75} = 8 \] \[ x = 8^{\frac{1}{0,75}} = 8^{\frac{4}{3}} = (2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^4 = 16 \] Lösung: \( x = 16 \) Zusammengefasst sind die Lösungsmengen: 1. \( x = 81 \) 2. \( x = 8 \) 3. \( x = 4 \) 4. \( x = \frac{1}{4} \) 5. \( x = 16 \)

Um die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung \(x^2 + 6x - 7 = 0\) zu finden, kann die Mitternachtsformel (auch bekannt als die quadratische Lösungsformel) verwendet werden. Diese Formel lautet: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Für die gegebene Gleichung \(x^2 + 6x - 7 = 0\) sind die Koeffizienten: - \(a = 1\) - \(b = 6\) - \(c = -7\) Setze diese Werte in die Mitternachtsformel ein: 1. Berechne die Diskriminante (\(\Delta\)): \[ \Delta = b^2 - 4ac \] \[ \Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) \] \[ \Delta = 36 + 28 \] \[ \Delta = 64 \] 2. Setze die Diskriminante in die Mitternachtsformel ein: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-6 \pm 8}{2} \] 3. Berechne die beiden Lösungen: \[ x_1 = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \] Die Lösungsmenge der Gleichung \(x^2 + 6x - 7 = 0\) ist daher: \[ \{1, -7\} \]

Um die Lösungsmenge der Gleichung \( x^2 + 8x = 0 \) zu finden, kann man die Gleichung faktorisieren. Hier ist eine Schritt-für-Sch-Erklärung: 1. **Gleichung aufstellen:** \[ x^2 + 8x = 0 \] 2. **Faktorisieren:** Man kann die Gleichung durch Ausklammern von \( x \) faktorisieren: \[ x(x + 8) = 0 \] 3. **Nullregel anwenden:** Nach der Nullregel (Produktregel) gilt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Das bedeutet: \[ x = 0 \] oder \[ x + 8 = 0 \] 4. **Lösungen finden:** - Für \( x = 0 \) ist die Lösung direkt \( x = 0 \). - Für \( x + 8 = 0 \) löst man nach \( x \) auf: \[ x = -8 \] 5. **Lösungsmenge:** Die Lösungsmenge der Gleichung \( x^2 + 8x = 0 \) ist daher: \[ \{0, -8\} \] Das bedeutet, die Gleichung hat zwei Lösungen: \( x = 0 \) und \( x = -8 \).

Um die Lösungsmenge der Gleichung \( x^2 + 8x = 0 \) zu finden, kannst du die Gleichung faktorisieren. 1. Setze die Gleichung gleich Null: \[ x^2 + 8x = 0 \] 2. Faktorisieren: \[ x(x + 8) = 0 \] 3. Setze jeden Faktor gleich Null und löse nach \( x \) auf: \[ x = 0 \] \[ x + 8 = 0 \implies x = -8 \] Die Lösungsmenge ist also: \[ \{0, -8\} \]

Um eine Gleichung zu lösen und die Lösungsmenge anzugeben, folge diesen allgemeinen Schritten: 1. **Gleichung vereinfachen**: Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, sodass auf der anderen Seite nur noch Null steht. 2. **Lösungsmethoden anwenden**: Je nach Art der Gleichung (linear, quadratisch, etc.) wende die passende Lösungsmethode an. 3. **Lösungen überprüfen**: Setze die gefundenen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung ein, um sicherzustellen, dass sie korrekt sind. 4. **Lösungsmenge angeben**: Schreibe die Lösungen in Mengenklammern. Hier sind zwei Beispiele: ### Beispiel 1: Lineare Gleichung Gleichung: \(2x + 3 = 7\) 1. **Gleichung vereinfachen**: \[2x + 3 - 3 = 7 - 3\] \[2x = 4\] 2. **Lösungsmethode anwenden**: \[x = \frac{4}{2}\] \[x = 2\] 3. **Lösungen überprüfen**: Setze \(x = 2\) in die ursprüngliche Gleichung ein: \[2(2) + 3 = 7\] \[4 + 3 = 7\] Die Lösung ist korrekt. 4. **Lösungsmenge angeben**: \[\{2\}\] ### Beispiel 2: Quadratische Gleichung Gleichung: \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 1. **Gleichung vereinfachen**: Die Gleichung ist bereits vereinfacht. 2. **Lösungsmethode anwenden** (Faktorisierung): \[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0\] Setze jeden Faktor gleich Null: \[x - 2 = 0 \quad \text{oder} \quad x - 3 = 0\] \[x = 2 \quad \text{oder} \quad x = 3\] 3. **Lösungen überprüfen**: Setze \(x = 2\) und \(x = 3\) in die ursprüngliche Gleichung ein: \[2^2 - 5(2) + 6 = 0\] \[4 - 10 + 6 = 0\] \[0 = 0\] \[3^2 - 5(3) + 6 = 0\] \[9 - 15 + 6 = 0\] \[0 = 0\] Beide Lösungen sind korrekt. 4. **Lösungsmenge angeben**: \[\{2, 3\}\] Diese Schritte können auf verschiedene Arten von Gleichungen angewendet werden, wobei die spezifischen Methoden je nach Gleichungstyp variieren.

Um die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der gegebenen Gleichung zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor: Die gegebene Gleichung lautet: \[ \frac{4}{x+1} - \frac{7}{4x+4} = \frac{3}{2x-2} \] ### 1. Definitionsmenge bestimmen Die Definitionsmenge umfasst alle Werte von \( x \), für die die Gleichung definiert ist. Das bedeutet, dass die Nenner der Brüche nicht null sein dürfen. - \( x + 1 \neq 0 \) ⟹ \( x \neq -1 \) - \( 4x + 4 \neq 0 \) ⟹ \( 4(x + 1) \neq 0 \) ⟹ \( x \neq -1 \) - \( 2x - 2 \neq 0 \) ⟹ \( 2(x - 1) \neq 0 \) ⟹ \( x \neq 1 \) Also ist die Definitionsmenge: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \] ### 2. Gleichung lösen Um die Gleichung zu lösen, bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner. Der gemeinsame Nenner der Brüche ist \( (x+1)(2x-2) \). Schreibe die Gleichung um: \[ \frac{4(2x-2)}{(x+1)(2x-2)} - \frac{7(x+1)}{(x+1)(2x-2)} = \frac{3(x+1)}{(x+1)(2x-2)} \] Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner \( (x+1)(2x-2) \), um die Brüche zu eliminieren: \[ 4(2x-2) - 7(x+1) = 3(x+1) \] Vereinfache die Gleichung: \[ 8x - 8 - 7x - 7 = 3x + 3 \] \[ x - 15 = 3x + 3 \] Bringe alle \( x \)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite: \[ x - 3x = 3 + 15 \] \[ -2x = 18 \] \[ x = -9 \] ### 3. Überprüfen, ob die Lösung in der Definitionsmenge liegt Die Lösung \( x = -9 \) liegt in der Definitionsmenge \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \). ### 4. Lösungsmenge Die Lösungsmenge ist: \[ L = \{-9\} \]

Die gegebene Gleichung scheint unvollständig oder fehlerhaft zu sein. Es sieht so aus, als ob du eine quadratische Gleichung lösen möchtest. Eine typische quadratische Gleichung hat die Form \( ax^2 + bx + c = 0 \). Falls du die Gleichung \( 2c^2 + 12x + 20 = 0 \) meinst, dann kannst du die Lösungsmenge durch die Anwendung der Mitternachtsformel (auch bekannt als die quadratische Lösungsformel) finden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier sind die Koeffizienten: - \( a = 2 \) - \( b = 12 \) - \( c = 20 \) Setze diese Werte in die Formel ein: \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 2 \cdot 20}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 160}}{4} \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{-16}}{4} \] Da die Diskriminante (\( b^2 - 4ac \)) negativ ist (\( -16 \)), gibt es keine reellen Lösungen für diese Gleichung. Stattdessen gibt es zwei komplexe Lösungen: \[ x = \frac{-12 \pm 4i}{4} \] \[ x = -3 \pm i \] Die Lösungsmenge ist also: \[ x = -3 + i \] \[ x = -3 - i \]

Um die Lösungsmenge der Ungleichung \(-34x + 8x + 45 < -33\) zu finden, folge diesen Schritten: 1. Kombiniere die \(x\)-Terme: \[ -34x + 8x = -26x \] Also wird die Ungleichung zu: \[ -26x + 45 < -33 \] 2. Subtrahiere 45 von beiden Seiten der Ungleichung: \[ -26x < -33 - 45 \] \[ -26x < -78 \] 3. Teile beide Seiten der Ungleichung durch \(-26\). Beachte, dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht, wenn du durch eine negative Zahl teilst: \[ x > \frac{-78}{-26} \] \[ x > 3 \] Die Lösungsmenge der Ungleichung ist also: \[ x > 3 \]

Um die Lösungsmenge der Gleichung \(5x - 7 = 5x + 10\) zu bestimmen, folge diesen Schritten: 1. **Subtrahiere \(5x\) von beiden Seiten der Gleichung:** \[ 5x - 7 - 5x = 5x + 10 - 5x \] Dies vereinfacht sich zu: \[ -7 = 10 \] 2. **Überprüfe die resultierende Aussage:** \[ -7 = 10 \] Diese Aussage ist offensichtlich falsch. Da die Gleichung zu einer falschen Aussage führt, gibt es keine Werte für \(x\), die die Gleichung erfüllen. Daher ist die Lösungsmenge leer. **Lösungsmenge:** \[ \emptyset \]