59 Fragen zu Nullstelle

Um die Nullstellen der Funktion \( y = x^2 + x + 16 \) zu berechnen, setzt man die Gleichung gleich null: \[ x^2 + 10x + 16 = 0. \] Diese quadratische Gleichung kann man mit der Mitternachtsformel (auch bekannt als Lösungsformel für quadratische Gleichungen) lösen: Die Mitternachtsformel lautet: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] wobei \( a = 1 \), \( b = 10 \) und \( c = 16 \). 1. Berechne die Diskriminante \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36. \] 2. Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein: \[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 6}{2}. \] 3. Berechne die beiden Lösungen: - Erste Lösung: \[ x_1 = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2. \] - Zweite Lösung: \[ x_2 = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8. \] Die Nullstellen der Funktion sind also \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = -8 \).

Um den Scheitelpunkt einer Parabel zu berechnen, wenn nur die Nullstellen gegeben sind, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Bestimme die Nullstellen**: Angenommen, die Nullstellen der Parabel sind \( x_1 \) und \( x_2 \). 2. **Berechne die x-Koordinate des Scheitelpunkts**: Die x-Koordinate des Scheitelpunkts \( x_s \) liegt genau in der Mitte der Nullstellen. Du kannst sie mit der Formel berechnen: \[ x_s = \frac{x_1 + x_2}{2} \] 3. **Berechne die y-Koordinate des Scheitelpunkts**: Um die y-Koordinate \( y_s \) zu finden, musst du die Funktionsgleichung der Parabel kennen. Wenn die Parabel die Form \( y = a(x - x_1)(x - x_2) \) hat, kannst du \( y_s \) berechnen, indem du \( x_s \) in die Gleichung einsetzt: \[ y_s = a(x_s - x_1)(x_s - x_2) \] Hierbei ist \( a \) der Streckfaktor, der die Öffnung der Parabel bestimmt. Wenn du den Wert von \( a \) nicht kennst, kannst du den Scheitelpunkt nur in Bezug auf \( a \) angeben. Zusammengefasst: Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten \( (x_s, y_s) \), wobei \( x_s = \frac{x_1 + x_2}{2} \) und \( y_s \) von der Funktionsgleichung abhängt.

Um die Nullstelle der Funktion \( y = -0,5x + 2,5 \) zu berechnen, setzt man \( y \) gleich null: \[ 0 = -0,5x + 2,5 \] Nun löst man die Gleichung nach \( x \) auf: \[ 0,5x = 2,5 \] \[ x = \frac{2,5}{0,5} = 5 \] Die Nullstelle der Funktion ist also \( x = 5 \).

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2 \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0. \] Eine Möglichkeit, die Nullstellen zu finden, ist die Anwendung des Horner-Schemas oder die Faktorisierung. Zunächst kann man versuchen, durch Raten eine rationale Nullstelle zu finden. Mögliche rationale Nullstellen sind die Teiler des konstanten Terms (-2), also ±1, ±2. Testen wir \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^3 + 2(1^2) - 1 - 2 = 1 + 2 - - 2 = 0. \] Da \( x = 1) eine Nullstelle ist, können wir die Funktion durch \( (x - 1) \) teilen. Wir verwenden das Polynomdivision: 1. Teile \( x^3 \) durch \( x \) und erhalte \( x^2 \). 2. Multipliziere \( (x - 1) \) mit \( x^2 \) und subtrahiere: \[ x^3 - x^2 \] \[ (x^3 + 2x^2 - x - 2) - (x^3 - x^2) = 3x^2 - x - 2. \] 3. Teile \( 3x^2 \) durch \( x \) und erhalte \( 3x \). 4. Multipliziere \( (x - 1) \) mit \( 3x \) und subtrahiere: \[ 3x^2 - 3x \] \[ (3x^2 - x - 2) - (3x^2 - 3x) = 2x - 2. \] 5. Teile \( 2x \) durch \( x \) und erhalte \( 2 \). 6. Multipliziere \( (x - 1) \) mit \( 2 \) und subtrahiere: \[ 2x - 2 \] \[ (2x - 2) - (2x - 2) = 0. \] Das Ergebnis der Division ist \( x^2 + 3x + 2 \). Jetzt setzen wir das Ergebnis gleich null: \[ x^2 + 3x + 2 = 0. \] Diese quadratische Gleichung kann durch Faktorisierung gelöst werden: \[ (x + 1)(x + 2) = 0. \] Die Nullstellen sind somit: 1. \( x = 1 \) 2. \( x = -1 \) 3. \( x = -2 \) Die Nullstellen der Funktion \( f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2 \) sind also \( x = 1, -1, -2 \).

Um die Nullstellen des Polynoms \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \) mit der Polynomdivision zu berechnen, müssen wir zunächst einen möglichen Nullstellenwert finden. Wir können die Rationalen Wurzelsätze verwenden, um mögliche rationale Nullstellen zu testen. Die möglichen rationalen Nullstellen sind die Teiler des konstanten Terms (-6) geteilt durch die Teiler des führenden Koeffizienten (1). Die möglichen rationalen Nullstellen sind also: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \). Wir testen diese Werte: 1. **Testen von \( x = -2 \)**: \[ f(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 5(-2) - = -8 + 8 + 10 - 6 = 4 \quad (\text{nicht eine Nullstelle}) \] 2. **Testen von \( x = -3 \)**: \[ f(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 5(-3) - 6 = -27 + 18 + 15 - 6 = 0 \quad (\text{eine Nullstelle}) \] Da \( x = -3 \) eine Nullstelle ist, führen wir die Polynomdivision von \( f(x) \) durch \( x + 3 \) durch. **Polynomdivision**: 1. Teile den ersten Term: \( x^3 \div x = x^2 \). 2. Multipliziere \( x^2 \) mit \( x + 3 \): \( x^2(x + 3) = x^3 + 3x^2 \). 3. Subtrahiere: \[ (x^3 + 2x^2 - 5x - 6) - (x^3 + 3x^2) = -x^2 - 5x - 6 \] 4. Teile den nächsten Term: \( -x^2 \div x = -x \). 5. Multipliziere \( -x \) mit \( x + 3 \): \( -x(x + 3) = -x^2 - 3x \). 6. Subtrahiere: \[ (-x^2 - 5x - 6) - (-x^2 - 3x) = -2x - 6 \] 7. Teile den nächsten Term: \( -2x \div x = -2 \). 8. Multipliziere \( -2 \) mit \( x + 3 \): \( -2(x + 3) = -2x - 6 \). 9. Subtrahiere: \[ (-2x - 6) - (-2x - 6) = 0 \] Das Ergebnis der Polynomdivision ist: \[ f(x) = (x + 3)(x^2 - x - 2) \] Nun müssen wir die Nullstellen des quadratischen Faktors \( x^2 - x - 2 \) finden. Wir setzen die Gleichung gleich null: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Diese Gleichung kann durch Faktorisierung gelöst werden: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Die Nullstellen sind: \[ x = 2 \quad \text{und} \quad x = -1 \] Zusammenfassend sind die Nullstellen des Polynoms \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \): \[ x = -3, \quad x = 2, \quad x = -1 \]

Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = 4 \ot x + \) zu finden, man \( f(x) \) gleich: \[ 0 = 4 \cdot x + 1 \] Nun löst man die Gleichung nach \( x \) auf: \[ 4 \cdot x = -1 \] \[ x = -\frac{1}{4} \] Die Nullstelle der Funktion ist also \( x = -\frac{1}{4} \).

Um die Nullstelle einer Funktion zu finden, musst du die Gleichung der Funktion aufstellen und dann die Werte bestimmen, für die die Funktion den Wert null annimmt. Wenn du mir die spezifische Funktion nennst, kann ich dir helfen, die Nullstelle zu berechnen.

Um die Nullstelle der Funktion \( y = 1,75x - 1 \) zu berechnen, setzt man \( y \) gleich 0: \[ 0 = 1,75x - 1 \] Nun löst man die Gleichung nach \( x \) auf: \[ 1,75x = 1 \] \[ x = \frac{1}{1,75} \] \[ x = \frac{4}{7} \approx 0,5714 \] Die Nullstelle der Funktion ist also \( x \approx 0,5714 \).

Die Funktion \( y = 7 \) ist eine konstante Funktion, die für alle Werte von \( x \) den Wert 7 annimmt. Da sie niemals den Wert 0 erreicht, hat diese Funktion keine Nullstellen.

Wenn der Funktionsgraph bei \( x_0 \) eine doppelte Nullstelle hat und die x-Achse berührt, bedeutet dies, dass die Funktion an dieser Stelle nicht nur den Wert null annimmt, sondern auch, dass die erste Ableitung an dieser Stelle ebenfalls null ist. Die notwendigen Bedingungen sind daher: 1. \( f(x_0) = 0 \) (die Funktion hat an \( x_0 \) den Wert null). 2. \( f'(x_0) = 0 \) (die erste Ableitung ist ebenfalls null, was bedeutet, dass der Graph die x-Achse berührt und nicht schneidet). Zusätzlich könnte man auch sagen, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle nicht null sein sollte, um sicherzustellen, dass es sich um eine doppelte Nullstelle handelt und der Graph tatsächlich die x-Achse berührt. Das bedeutet: 3. \( f''(x_0) \neq 0 \) (die zweite Ableitung ist nicht null, was auf eine Wende oder eine lokale Extremstelle hinweist). Diese Bedingungen zusammen charakterisieren eine doppelte Nullstelle.

Wenn die notwendige Bedingung lautet, dass \( f(x) = 0 \), bedeutet, dass der Funktionsgraph an der Stelle \( x \) die x-Achse schneidet. Dies ist ein Punkt, an dem der Funktionswert gleich null ist. In der Regel handelt es sich dabei eine Nullstelle der. An dieser Stelle kann die Funktion entweder die x-Achse berühren (aber nicht schneiden) oder sie kann die Achse tatsächlich durchqueren. Die genaue Eigenschaft des Graphen an dieser Stelle hängt von der Art der Funktion und ihrem Verhalten in der Umgebung dieser Nullstelle ab.

Um die Nullstelle der linearen Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) zu bestimmen, die durch den Punkt \( P(1|1) \) geht und eine Steigung von \( a = 12 \) hat, kannst du die allgemeine Form der linearen Funktion verwenden: \[ f(x) = mx + b \] Hierbei ist \( m \) die Steigung und \( b \) der y-Achsenabschnitt. In deinem Fall ist \( m = 12 \). Da die Funktion durch den Punkt \( P(1|1) \) geht, können wir diesen Punkt in die Gleichung einsetzen, um \( b \) zu bestimmen: \[ 1 = 12 \cdot 1 + b \] Das vereinfacht sich zu: \[ 1 = 12 + b \] Daraus folgt: \[ b = 1 - 12 = -11 \] Somit lautet die Funktion: \[ f(x) = 12x - 11 \] Um die Nullstelle \( N \) zu finden, setzt man \( f(x) = 0 \): \[ 0 = 12x - 11 \] Das löst sich zu: \[ 12x = 11 \] \[ x = \frac{11}{12} \] Die Nullstelle \( N \) der Funktion ist also: \[ N\left(\frac{11}{12}, 0\right) \]

Um die Nullstelle der Funktion \( y = \frac{3}{}x + \frac{1}{4} \) zu berechnen, setzt man \( y = 0 \): \[ 0 = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4} \] Nun isolierst du \( x \): \[ -\frac{1}{4} = \frac{3}{4}x \] Multipliziere beide Seiten mit \( \frac{4}{3} \), um \( x \) zu berechnen: \[ x = -\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{1}{3} \] Die Nullstelle der Funktion ist also \( x = -\frac{1}{3} \).

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) x^2 -6x \) berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \x^2 - x = 0 \] Diese Gleichung kann man faktieren: \[ x(x - 6 = 0 \] Nun setzt man jeden Faktor gleich null: 1. \( x = 0 \) 2. \( x - 6 = 0 \) → \( x = \) Die Nullstellen der Funktion sind also \( x = 0 \) und \( x = 6 \).

Die Linearfaktorzerlegung ist eine Methode, um ein Polynom in Produkte von Linearfaktoren zu zerlegen. Wenn du die Nullstellen eines Polynoms kennst, kannst du es in der Form \( f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n) \) schreiben wobei \( r_1, r_2, ..., r_n \) die Nullstellen sind und \( a \) ein Koeffizient ist. In deinem Fall hast du die Nullstellen \( S(-3) \) und \( S(3) \). Das bedeutet, dass die Linearfaktoren \( (x + 3) \) und \( (x - 3) \) sind. Wenn du also ein Polynom mit diesen Nullstellen aufstellen möchtest, sieht die Linearfaktorzerlegung so aus: \[ f(x) = a(x + 3)(x - 3) \] Das Produkt \( (x + 3)(x - 3) \) ergibt \( x^2 - 9 \). Wenn du den Koeffizienten \( a \) auf 1 setzt, erhältst du: \[ f(x) = x^2 - 9 \] Das ist die Linearfaktorzerlegung des Polynoms mit den Nullstellen -3 und 3.