3 Fragen zu Polynomial

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Sie hat die allgemeine Form: \[ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ld + a_1 x + a_0 \] Dabei sind \( a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0 \) reelle Zahlen (die Koeffizienten) und \( n \) eine nicht-negative ganze Zahl, die den Grad des Polynoms angibt. Der Grad \( n \) bestimmt die höchste Potenz von \( x \) in der Funktion. Ganzrationale Funktionen sind stetig und differenzierbar und können verschiedene Formen annehmen, je nach den Koeffizienten und dem Grad des Polynoms. Beispiele für ganzrationale Funktionen sind lineare Funktionen (Grad 1), quadratische Funktionen (Grad 2) und kubische Funktionen (Grad 3).

Um das Polynom \( x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \) zu dividieren, benötigst du einen Divisor. Angenommen, du möchtest es durch \( x + 3 \) dividieren. Hier ist die Schritt-für-Schritt-Durchführung der Polynomdivision: 1. **Teile den ersten Term**: \( \frac{x^3}{x} = x^2 \). 2. **Multipliziere den gesamten Divisor**: \( x^2 \cdot (x + 3) = x^3 + 3x^2 \). 3. **Subtrahiere das Ergebnis von dem ursprünglichen Polynom**: \[ (x^3 + 2x^2 - 5x - 6) - (x^3 + 3x^2) = -x^2 - 5x - 6. \] 4. **Wiederhole den Prozess**: Teile den ersten Term des neuen Polynoms: \( \frac{-x^2}{x} = -x \). 5. **Multipliziere den Divisor**: \( -x \cdot (x + 3) = -x^2 - 3x \). 6. **Subtrahiere wieder**: \[ (-x^2 - 5x - 6) - (-x^2 - 3x) = -2x - 6. \] 7. **Wiederhole den Prozess**: Teile den ersten Term: \( \frac{-2x}{x} = -2 \). 8. **Multipliziere den Divisor**: \( -2 \cdot (x + 3) = -2x - 6 \). 9. **Subtrahiere**: \[ (-2x - 6) - (-2x - 6) = 0. \] Das Ergebnis der Division ist also: \[ x^2 - x - 2. \] Das Polynom \( x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \) lässt sich also als \( (x + 3)(x^2 - x - 2) \) schreiben.

Um den Ausdruck \( A = 32x^{2n+1 + 32x^{2n + 8x2n-1} \) zu faktorisieren, können wir zunächst gemeinsame Faktoren identifizieren. 1. Z erkennen wir, dass \( 8) ein gemeinsamer ist: \[ A = 8(4x^{2n+1} + 4x^{2n} + x^{2n-1}) \] 2. Jetzt können wir den inneren Ausdruck weiter untersuchen: \[ 4x^{2n+1} + 4x^{2n} + x^{2n-1} \] 3. Wir können \( x^{2n-1} \) als gemeinsamen Faktor herausziehen: \[ = x^{2n-1}(4x^2 + 4x + 1) \] 4. Setzen wir alles zusammen: \[ A = 8x^{2n-1}(4x^2 + 4x + 1) \] 5. Der Ausdruck \( 4x^2 + 4x + 1 \) kann nicht weiter faktorisiert werden, da die Diskriminante \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0 \) ist, was bedeutet, dass es eine doppelte Wurzel hat. Somit ist die faktorisierte Form des Ausdrucks: \[ A = 8x^{2n-1}(4x^2 + 4x + 1) \]