3 Fragen zu Produktionsmenge

Um den Stückgewinn \( g \) und den Gesamtgewinn G \) bei der gewinnmaximalen Produktionsmenge zu bestimmen, müssen wir zunächst die Gewinnfunktion analysieren. Die Gewinnfunktion ist gegeben durch: \[ G(x) = -x^3 + 15x^2 - 17x - 25 \] 1. **Gewinnmaximale Produktionsmenge finden**: Dazu setzen wir die erste Ableitung der Gewinnfunktion gleich null und lösen nach \( x \) auf. Die erste Ableitung \( G'(x) \) ist: \[ G'(x) = -3x^2 + 30x - 17 \] Setze \( G'(x) = 0 \): \[ -3x^2 + 30x - 17 = 0 \] Diese quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = -3 \), \( b = 30 \), und \( c = -17 \): \[ x = \frac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-17)}}{2 \cdot (-3)} \] \[ x = \frac{-30 \pm \sqrt{900 - 204}}{-6} \] \[ x = \frac{-30 \pm \sqrt{696}}{-6} \] \[ x = \frac{-30 \pm 26.4}{-6} \] Das ergibt zwei Lösungen: \[ x_1 \approx 0.6 \quad \text{und} \quad x_2 \approx 5.6 \] Um die gewinnmaximale Produktionsmenge zu bestimmen, prüfen wir die Werte in der zweiten Ableitung \( G''(x) \): \[ G''(x) = -6x + 30 \] Für \( x_1 \) und \( x_2 \): - Bei \( x_1 \approx 0.6 \): \( G''(0.6) \approx 27.6 > 0 \) (Minimum) - Bei \( x_2 \approx 5.6 \): \( G''(5.6) \approx -0.4 < 0 \) (Maximum) Somit ist die gewinnmaximale Produktionsmenge \( x \approx 5.6 \). 2. **Stückgewinn \( g \)**: Der Stückgewinn ist der Gewinn pro produzierter Einheit, also \( g = G'(x) \) an der gewinnmaximalen Produktionsmenge: \[ g(5.6) = G'(5.6) = -3(5.6)^2 + 30(5.6) - 17 \] Berechne \( g(5.6) \): \[ g(5.6) = -3(31.36) + 168 - 17 \approx -94.08 + 168 - 17 \approx 56.92 \] 3. **Gesamtgewinn \( G \)**: Setze \( x = 5.6 \) in die Gewinnfunktion ein: \[ G(5.6) = - (5.6)^3 + 15(5.6)^2 - 17(5.6) - 25 \] Berechne \( G(5.6) \): \[ G(5.6) = -175.616 + 468 - 95.2 - 25 \approx 172.184 \] Zusammenfassend: - Der Stückgewinn \( g \) bei der gewinnmaximalen Produktionsmenge beträgt etwa \( 56.92 \). - Der Gesamtgewinn \( G \) bei dieser Menge beträgt etwa \( 172.18 \).

Das Zielreichweitenverfahren ist eine Methode zur Bestimmung der optimalen Produktionsmenge in der Produktionsplanung. Es basiert auf der Berechnung der Reichweite des Lagerbestands, also der Zeitspanne, für die der aktuelle Lagerbestand ausreicht, um die Nachfrage zu decken. Hier sind die grundlegenden Schritte zur Anwendung des Zielreichweitenverfahrens: 1. **Bestimmung der aktuellen Lagerbestände**: Ermittlung der aktuellen Bestände der zu produzierenden Güter. 2. **Prognose der zukünftigen Nachfrage**: Schätzung der zukünftigen Nachfrage für den Planungszeitraum. 3. **Berechnung der Reichweite**: Die Reichweite wird berechnet, indem der aktuelle Lagerbestand durch die prognostizierte Nachfrage pro Zeiteinheit geteilt wird. Die Formel lautet: \[ \text{Reichweite} = \frac{\text{Lagerbestand}}{\text{Nachfrage pro Zeiteinheit}} \] 4. **Festlegung der Zielreichweite**: Bestimmung der gewünschten Reichweite, die der Lagerbestand abdecken soll. Diese Zielreichweite wird oft in Tagen, Wochen oder Monaten angegeben. 5. **Berechnung der Produktionsmenge**: Die erforderliche Produktionsmenge wird berechnet, um die Zielreichweite zu erreichen. Die Formel lautet: \[ \text{Produktionsmenge} = (\text{Zielreichweite} \times \text{Nachfrage pro Zeiteinheit}) - \text{aktueller Lagerbestand} \] 6. **Anpassung der Produktionsplanung**: Die Produktionsplanung wird entsprechend angepasst, um die berechnete Produktionsmenge zu erreichen. Dieses Verfahren hilft, die Produktionsmenge so zu steuern, dass die Lagerbestände optimal genutzt werden und gleichzeitig die Nachfrage gedeckt wird, ohne übermäßige Lagerbestände aufzubauen.

Nein, die optimale Bestellmenge und die optimale Produktionsmenge sind nicht die gleiche Formel, obwohl sie ähnliche Konzepte verwenden. 1. **Optimale Bestellmenge (Economic Order Quantity, EOQ)**: Diese Formel wird verwendet, um die optimale Menge an Bestellungen zu bestimmen, die die Gesamtkosten minimiert, die durch Bestellkosten und Lagerhaltungskosten entstehen. Die EOQ-Formel lautet: \[ EOQ = \sqrt{\frac{2DS}{H}} \] wobei: - \(D\) die jährliche Nachfrage, - \(S\) die Bestellkosten pro Bestellung und - \(H\) die Lagerhaltungskosten pro Einheit pro Jahr sind. 2. **Optimale Produktionsmenge (Economic Production Quantity, EPQ)**: Diese Formel wird verwendet, um die optimale Produktionsmenge zu bestimmen, die die Gesamtkosten minimiert, die durch Produktionskosten und Lagerhaltungskosten entstehen. Die EPQ-Formel lautet: \[ EPQ = \sqrt{\frac{2DS}{H} \cdot \frac{P}{P - D}} \] wobei: - \(D\) die jährliche Nachfrage, - \(S\) die Rüstkosten pro Produktionslauf, - \(H\) die Lagerhaltungskosten pro Einheit pro Jahr und - \(P\) die Produktionsrate sind. Obwohl beide Formeln ähnliche Variablen verwenden, berücksichtigt die EPQ-Formel zusätzlich die Produktionsrate, was sie von der EOQ-Formel unterscheidet.