2 Fragen zu Produktregel

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = 2e^{2x} (x \cdot x^2) \) zu bestimmen, kannst du die Produktregel und die Kettenregel anwenden. Zuerst vereinfachen wir die Funktion: \[ f(x) = 2e^{2x} (x^3) \] Jetzt wenden wir die Produktregel an, die besagt, dass die Ableitung von \( u \cdot v \) gegeben ist durch \( u'v + uv' \), wobei \( u = 2e^{2x} \) und \( v = x^3 \). 1. Berechne \( u' \): \[ u' = 2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2 \cdot e^{2x} \cdot 2 = 4e^{2x} \] 2. Berechne \( v' \): \[ v' = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \] Jetzt setzen wir alles in die Produktregel ein: \[ f'(x) = u'v + uv' = (4e^{2x})(x^3) + (2e^{2x})(3x^2) \] Das vereinfacht sich zu: \[ f'(x) = 4e^{2x} x^3 + 6e^{2x} x^2 \] Du kannst auch \( e^{2x} \) und \( x^2 \) ausklammern: \[ f'(x) = e^{2x} (4x^3 + 6x^2) \] Das ist die Ableitung der gegebenen Funktion.

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^6 \cdot 3^x \cdot \sin(x) \) zu berechnen, wird die Produktregel verwendet. Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts von Funktionen \( u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) \) wie folgt berechnet wird: \[ (u \cdot v \cdot w)' = u' \cdot v \cdot w + u \cdot v' \cdot w + u \cdot v \cdot w' \] Setze \( u(x) = x^6 \), \( v(x) = 3^x \) und \( w(x) = \sin(x) \). 1. Berechne die Ableitungen der einzelnen Funktionen: - \( u'(x) = 6x^5 \) - \( v'(x) = 3^x \ln(3) \) - \( w'(x) = \cos(x) \) 2. Setze die Ableitungen in die Produktregel ein: \[ f'(x) = (x^6)' \cdot 3^x \cdot \sin(x) + x^6 \cdot (3^x)' \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \cdot (\sin(x))' \] \[ f'(x) = 6x^5 \cdot 3^x \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \ln(3) \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \cdot \cos(x) \] 3. Fasse die Terme zusammen: \[ f'(x) = 6x^5 \cdot 3^x \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \ln(3) \cdot \sin(x) + x^6 \cdot 3^x \cdot \cos(x) \] Das ist die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^6 \cdot 3^x \cdot \sin(x) \).