1 Frage zu Pt1

Um ein PT1-Glied (Proportional-Integral-Glied) in die Z-Transformation umzuwandeln, kannst du die Übertragungsfunktion eines PT1-Gliedes betrachten, die in der Regel die Form hat: \[ H(s) = \frac{K}{\tau s + 1} \] Hierbei ist \( K \) die Verstärkung und \( \tau \) die Zeitkonstante. Um die Z-Transformation durchzuführen, kannst du die bilineare Transformation oder die Impulsinvarianz verwenden. Eine gängige Methode ist die bilineare Transformation, die die Beziehung zwischen der s- und der z-Ebene herstellt. Die bilineare Transformation lautet: \[ s = \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \] Hierbei ist \( T \) die Abtastzeit. Setze \( s \) in die Übertragungsfunktion ein und forme sie um: 1. Ersetze \( s \) in der Übertragungsfunktion: \[ H(z) = \frac{K}{\tau \left( \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \right) + 1} \] 2. Vereinfache den Ausdruck. 3. Multipliziere den Zähler und den Nenner mit \( (1 + z^{-1}) \), um die Z-Übertragungsfunktion in eine gebräuchliche Form zu bringen. Das Ergebnis ist die Z-Übertragungsfunktion des PT1-Gliedes.