118 Fragen zu Quadratisch

Um den Graphen von \( g(x) = x^2 - 4 \) aus dem Graphen von \( f(x) = x^2 \) zu erhalten, musst du eine vertikale Verschiebung des Graphen von \( f(x) \) nach unten um 4 Einheiten durchführen. Hier sind die Schritte: 1. **Start mit dem Graphen von \( f(x) = x^2 \)**: Dies ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist und ihren Scheitelpunkt im Ursprung (0,0) hat. 2. **Verschiebung nach unten**: Um den Graphen von \( f(x) \) in den Graphen von \( g(x) \) zu transformieren, verschiebe jeden Punkt des Graphen von \( f(x) \) um 4 Einheiten nach unten. Das bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Parabel von (0,0) nach (0,-4) verschoben wird. Das Ergebnis ist der Graph von \( g(x) = x^2 - 4 \), der ebenfalls eine nach oben geöffnete Parabel ist, aber mit einem Scheitelpunkt bei (0,-4).

Um die Gleichung \(12x^2 - x + 6 = 0\) zu lösen, kannst du die Mitternachtsformel (auch bekannt als die quadratische Formel) verwenden. Diese lautet: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hierbei sind \(a = 12\), \(b = -1\) und \(c = 6\). 1. Berechne die Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\): \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 6 = 1 - 288 = -287 \] Da die Diskriminante negativ ist (\(D < 0\)), hat die Gleichung keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen. 2. Berechne die Lösungen: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{-287}}{2 \cdot 12} = \frac{1 \pm i\sqrt{287}}{24} \] Die Lösungen der Gleichung \(12x^2 - x + 6 = 0\) sind also: \[ x_1 = \frac{1 + i\sqrt{287}}{24}, \quad x_2 = \frac{1 - i\sqrt{287}}{24} \]

Um die Nullstellen der Funktion \( y = x^2 + x + 16 \) zu berechnen, setzt man die Gleichung gleich null: \[ x^2 + 10x + 16 = 0. \] Diese quadratische Gleichung kann man mit der Mitternachtsformel (auch bekannt als Lösungsformel für quadratische Gleichungen) lösen: Die Mitternachtsformel lautet: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] wobei \( a = 1 \), \( b = 10 \) und \( c = 16 \). 1. Berechne die Diskriminante \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36. \] 2. Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein: \[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 6}{2}. \] 3. Berechne die beiden Lösungen: - Erste Lösung: \[ x_1 = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2. \] - Zweite Lösung: \[ x_2 = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8. \] Die Nullstellen der Funktion sind also \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = -8 \).

Um die Lösungsmenge einer quadratischen Funktion zu berechnen, folge diesen Schritten: 1. **Form der Funktion**: Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \), wobei \( a \), \( b \) und \( c \) Konstanten sind und \( a \neq 0 \). 2. **Bestimmung der Diskriminante**: Berechne die Diskriminante \( D \) mit der Formel: \[ D = b^2 - 4ac \] 3. **Analyse der Diskriminante**: - **Wenn \( D > 0 \)**: Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen. Diese können mit der Mitternachtsformel (Quadratische Formel) berechnet werden: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] - **Wenn \( D = 0 \)**: Es gibt eine doppelte reelle Lösung. Diese wird ebenfalls mit der Mitternachtsformel berechnet: \[ x = \frac{-b}{2a} \] - **Wenn \( D < 0 \)**: Es gibt keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen. Diese können ebenfalls mit der Mitternachtsformel gefunden werden, wobei die Wurzel von \( D \) imaginär ist: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-D}}{2a} \] 4. **Lösungsmenge**: Die Lösungsmenge wird dann in der Form \( \{ x_1, x_2 \} \) oder \( \{ x \} \) (bei doppelter Lösung) oder als leerer Raum \( \emptyset \) (bei keinen reellen Lösungen) angegeben. Durch diese Schritte kannst du die Lösungsmenge einer quadratischen Funktion bestimmen.

Um die quadratische Funktion \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, nutzen wir die gegebenen Informationen. 1. **Schnittpunkt mit der y-Achse**: Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt \( (0|4) \). Das bedeutet, dass \( c = 4 \). 2. **Punkte P und Q**: Die Funktion verläuft durch die Punkte \( P(5|9) \) und \( Q(-1|-3) \). Das gibt uns zwei Gleichungen: - Für den Punkt \( P(5|9) \): \[ f(5) = a(5^2) + b(5) + 4 = 9 \] \[ 25a + 5b + 4 = 9 \quad \Rightarrow \quad 25a + 5b = 5 \quad \Rightarrow \quad 5a + b = 1 \quad \text{(Gleichung 1)} \] - Für den Punkt \( Q(-1|-3) \): \[ f(-1) = a(-1^2) + b(-1) + 4 = -3 \] \[ a - b + 4 = -3 \quad \Rightarrow \quad a - b = -7 \quad \text{(Gleichung 2)} \] 3. **Lösen des Gleichungssystems**: Wir haben nun zwei Gleichungen: - \( 5a + b = 1 \) (Gleichung 1) - \( a - b = -7 \) (Gleichung 2) Wir können Gleichung 2 nach \( b \) umstellen: \[ b = a + 7 \] Setze \( b \) in Gleichung 1 ein: \[ 5a + (a + 7) = 1 \] \[ 6a + 7 = 1 \quad \Rightarrow \quad 6a = -6 \quad \Rightarrow \quad a = -1 \] Setze \( a \) zurück in die Gleichung für \( b \): \[ b = -1 + 7 = 6 \] 4. **Funktion aufstellen**: Jetzt haben wir die Werte für \( a \), \( b \) und \( c \): \[ a = -1, \quad b = 6, \quad c = 4 \] Die gesuchte quadratische Funktion ist: \[ f(x) = -x^2 + 6x + 4 \]

Um die quadratische Gleichung \((x + 2)^2 = 16\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung: \[ x + 2 = \pm 4 \] 2. Löse die beiden möglichen Gleichungen: a) \(x + 2 = 4\) \[ x = 4 - 2 = 2 \] b) \(x + 2 = -4\) \[ x = -4 - 2 = -6 \] 3. Die Lösungen der Gleichung sind: \[ x = 2 \quad \text{und} \quad x = -6 \]

Um die quadratische Gleichung \(2x^2 - 16 + 14 = 0\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Vereinfache die Gleichung: \[ 2x^2 - 2 = 0 \] 2. Addiere 2 zu beiden Seiten: \[ 2x^2 = 2 \] 3. Teile beide Seiten durch 2: \[ x^2 = 1 \] 4. Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ x = \pm 1 \] Die Lösungen der Gleichung sind also \(x = 1\) und \(x = -1\).

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, die in der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) dargestellt wird, wobei \( a \), \( b \) und \( c \) Konstanten sind und \( a \neq 0 \). Diese Funktion beschreibt eine Parabel, die nach oben oder unten geöffnet sein kann, abhängig vom Vorzeichen von \( a \). Eine quadratische Gleichung hingegen ist eine Gleichung, die die Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) hat. Das Ziel bei einer quadratischen Gleichung ist es, die Werte von \( x \) zu finden, die die Gleichung erfüllen. Die Lösungen dieser Gleichung können durch verschiedene Methoden wie Faktorisierung, die Mitternachtsformel oder quadratische Ergänzung gefunden werden. Zusammengefasst: Eine quadratische Funktion beschreibt eine Beziehung zwischen \( x \) und \( f(x) \), während eine quadratische Gleichung eine Bedingung angibt, die erfüllt werden muss.

Die Funktion \( f(x) = -0,8x^2 \) ist eine quadratische Funktion, die eine Parabel beschreibt. Da der Koeffizient von \( x^2 \) negativ ist (-0,8), öffnet die Parabel nach unten. Hier sind einige Eigenschaften dieser Funktion: 1. **Scheitelpunkt**: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \( (0, 0) \), da es keine linearen oder konstanten Terme gibt, die die Position verschieben würden. 2. **Achse der Symmetrie**: Die Parabel ist symmetrisch zur y-Achse, also zur Linie \( x = 0 \). 3. **Werte**: Für \( x = 1 \) und \( x = -1 \) ergibt sich \( f(1) = f(-1) = -0,8 \). Für \( x = 2 \) und \( x = -2 \) ergibt sich \( f(2) = f(-2) = -3,2 \). 4. **Nullstellen**: Die Funktion hat keine Nullstellen, da \( f(x) \) für alle \( x \) negative Werte annimmt. 5. **Verhalten im Unendlichen**: Wenn \( x \) gegen unendlich oder minus unendlich geht, tendiert \( f(x) \) gegen minus unendlich. Diese Funktion kann in verschiedenen Anwendungen der Mathematik und Physik vorkommen, insbesondere in der Beschreibung von Bewegungen oder in der Optimierung.

Um die Funktion \( f(x) = -(x-2)^2 - 1 \) in die faktorisierte Form umzuwandeln, folge diesen Schritten: 1. Zuerst erkenne, dass die Funktion bereits eine quadratische Form hat. Wir können sie umformen, um die faktorisierte Form zu finden. 2. Schreibe die Funktion um: \[ f(x) = -((x-2)^2 + 1) \] 3. Jetzt ist es wichtig zu beachten, dass \( (x-2)^2 + 1 \) nicht weiter faktorisiert werden kann, da es immer positiv ist (es hat keine Nullstellen). 4. Die faktorisierte Form der Funktion bleibt also: \[ f(x) = -(x-2)^2 - 1 \] In diesem Fall ist die Funktion nicht in eine einfachere faktorisierte Form umwandelbar, da sie bereits in einer kompakten Form vorliegt.

Eine quadratische Pyramide ist ein dreidimensionales geometrisches Objekt, das eine quadratische Basis hat und von vier dreieckigen Seitenflächen umgeben ist, die sich an einem gemeinsamen Punkt, dem Apex oder der Spitze, treffen. Die Eigenschaften einer quadratischen Pyramide sind: 1. **Basis**: Die Basis ist ein Quadrat, das vier gleich lange Seiten hat. 2. **Seitenflächen**: Es gibt vier dreieckige Seitenflächen, die jeweils eine Kante der Basis mit der Spitze verbinden. 3. **Höhe**: Die Höhe ist der senkrechte Abstand von der Basis zur Spitze. 4. **Volumen**: Das Volumen einer quadratischen Pyramide kann mit der Formel \( V = \frac{1}{3} \cdot A_B \cdot h \) berechnet werden, wobei \( A_B \) die Fläche der Basis und \( h \) die Höhe ist. 5. **Oberfläche**: Die Oberfläche setzt sich aus der Fläche der Basis und der Fläche der vier dreieckigen Seiten zusammen. Quadratische Pyramiden sind ein wichtiger Bestandteil der Geometrie und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen, wie Architektur und Design.

Um die quadratische Ergänzung für die Funktion \( T(x) = x^2 - 0,5x - 3 \) durchzuführen, folge diesen Schritten: 1. **ifiziere die Koeizienten**: Hier der Koeffizient \( x \) gleich \(-0,5\). 2. **Halbiere den Koeffizienten von \( x \)**: \[ \frac{-0,5}{2} = -0,25 \] 3. **Quadriere das Ergebnis**: \[ (-0,25)^2 = 0,0625 \] 4. **Füge und subtrahiere diesen Wert in der Funktion**: \[ T(x) = x^2 - 0,5x + 0,0625 - 0,0625 - 3 \] 5. **Fasse die quadratische Form zusammen**: \[ T(x) = (x - 0,25)^2 - 3,0625 \] Somit ist die quadratische Ergänzung von \( T(x) \) in der Form: \[ T(x) = (x - 0,25)^2 - 3,0625 \]

Um die Gleichung \(x^2 + 10x - 39 = 0\) zu lösen, kannst du die Mitternachtsformel (auch bekannt als die quadratische Formel) verwenden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier sind \(a = 1\), \(b = 10\) und \(c = -39\). 1. Berechne die Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\): \[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-39) = 100 + 156 = 256 \] 2. Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein: \[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 16}{2} \] 3. Berechne die beiden Lösungen: \[ x_1 = \frac{-10 + 16}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-10 - 16}{2} = \frac{-26}{2} = -13 \] Die Lösungen der Gleichung \(x^2 + 10x - 39 = 0\) sind also \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -13\).

Um die Gleichung \(-8 = x^2 + 6x\) nach \(x\) zu lösen, bringe zuerst alle Terme auf eine Seite der Gleichung: \[ x^2 + 6x + 8 = 0 \] Jetzt kannst du die Mitternachtsel (Quadratische Formel) anwenden, um die Lösungen zu finden. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ist \(ax^2 + bx + c = 0\), wobei \(a = 1\), \(b = 6\) und \(c = 8\). Die Mitternachtsformel lautet: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Setze die Werte ein: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} \] Berechne den Diskriminanten: \[ 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \] Setze den Diskriminanten in die Formel ein: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2} \] Da \(\sqrt{4} = 2\), ergibt sich: \[ x = \frac{-6 \pm 2}{2} \] Das führt zu zwei Lösungen: 1. \(x = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) 2. \(x = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4\) Die Lösungen der Gleichung sind also: \[ x = -2 \quad \text{und} \quad x = -4 \]

Um die Funktion \( f(x) = x^2 - 6x - 3 \) in die Scheitelpunktform zu bringen, verwendest du die quadratische Ergänzung. 1. Beginne mit der Funktion: \[ f(x) = x^2 - 6x - 3 \] 2. Nimm die Koeffizienten von \( x \) (hier -6), teile ihn durch 2 und quadriere das Ergebnis: \[ \left(-\frac{6}{2}\right)^2 = 9 \] 3. Füge und subtrahiere diesen Wert in der Funktion: \[ f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 - 3 \] 4. Schreibe die quadratische Ergänzung als Quadrat: \[ f(x) = (x - 3)^2 - 12 \] Die Scheitelpunktform der Funktion ist also: \[ f(x) = (x - 3)^2 - 12 \] Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \( (3, -12) \).