1 Frage zu Schritt-für-schritt

Um die Gleichung \(2^{(x+1)} + 2^x = 3^{(x+1)} + 3^\) zu vereinfachen, kannst du die Potenzen umschreiben und dann versuchen, die Gleichung zu lösen. Hier sind die Schritte: 1. Schreibe die Potenzen um: \[ 2^{(x+1)} = 2 \cdot 2^x \quad \text{und} \quad 3^{(x+1)} = 3 \cdot 3^x \] 2. Setze diese Umformungen in die Gleichung ein: \[ 2 \cdot 2^x + 2^x = 3 \cdot 3^x + 3^x \] 3. Faktoriere \(2^x\) und \(3^x\) aus: \[ 2^x (2 + 1) = 3^x (3 + 1) \] 4. Vereinfache die Ausdrücke in den Klammern: \[ 2^x \cdot 3 = 3^x \cdot 4 \] 5. Teile beide Seiten der Gleichung durch \(2^x\): \[ 3 = 4 \left(\frac{3}{2}\right)^x \] 6. Teile beide Seiten der Gleichung durch 4: \[ \frac{3}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^x \] 7. Schreibe die Gleichung in logarithmischer Form, um \(x\) zu isolieren: \[ x = \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{4}\right) \] 8. Verwende die Eigenschaft des Logarithmus, dass \(\log_b(a) = \frac{\log(a)}{\log(b)}\): \[ x = \frac{\log \left(\frac{3}{4}\right)}{\log \left(\frac{3}{2}\right)} \] Das ist die vereinfachte Form der Lösung für \(x\).