8 Fragen zu Sinusfunktion

Das Monotonieverhalten der Sinusfunktion \( f(x) = \sin(x) \) kann wie folgt zusammengefasst werden: 1. **Monoton steigend**: Die Sinusfunktion ist im Intervall \( \left[ 2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2} \right] \) monoton steigend, wobei \( k \) eine ganze Zahl ist. In diesen Intervallen nimmt der Funktionswert von \( -1 \) bis \( 1 \) zu. 2. **Monoton fallend**: Die Sinusfunktion ist im Intervall \( \left[ 2k\pi + \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{3\pi}{2} \right] \) monoton fallend. Hier sinkt der Funktionswert von \( 1 \) bis \( -1 \). Zusammengefasst: Die Sinusfunktion hat ein periodisches Verhalten mit einer Periode von \( 2\pi \) und wechselt zwischen monoton steigend und fallend in den oben genannten Intervallen.

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x^3} \) zu berechnen, wird die Quotientenregel verwendet. Die Quotientenregel besagt, dass für zwei Funktionen \( u(x) \) und \( v(x) \): \[ \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] Hier \( u(x) = \sin(x) \) und \( v(x) = x^3 \). Zuerst werden die Ableitungen von \( u(x) \) und \( v(x) \) berechnet: \[ u'(x) = \cos(x) \] \[ v'(x) = 3x^2 \] Nun wird die Quotientenregel angewendet: \[ f'(x) = \frac{\cos(x) \cdot x^3 - \sin(x) \cdot 3x^2}{(x^3)^2} \] Das wird weiter vereinfacht: \[ f'(x) = \frac{x^3 \cos(x) - 3x^2 \sin(x)}{x^6} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 (x \cos(x) - 3 \sin(x))}{x^6} \] \[ f'(x) = \frac{x \cos(x) - 3 \sin(x)}{x^4} \] Das ist die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x^3} \): \[ f'(x) = \frac{x \cos(x) - 3 \sin(x)}{x^4} \]

Um die Konstanten \( a \) und \( b \) in der Funktion \( y = a \cdot \cos(bx) \) zu bestimmen, sodass die maximale Differenz der Funktionswerte 4 und der Abstand der Nullstellen 10 beträgt, gehen wir wie folgt vor: 1. **Maximale Differenz der Funktionswerte:** Die maximale Differenz der Funktionswerte einer Kosinusfunktion \( y = a \cdot \cos(bx) \) ist \( 2a \). Diese Differenz soll 4 betragen: \[ 2a = 4 \implies a = 2 \] 2. **Abstand der Nullstellen:** Die Nullstellen der Funktion \( y = a \cdot \cos(bx) \) treten bei \( bx = \frac{\pi}{2} + k\pi \) auf, wobei \( k \) eine ganze Zahl ist. Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen ist daher: \[ \Delta x = \frac{\pi}{b} \] Dieser Abstand soll 10 betragen: \[ \frac{\pi}{b} = 10 \implies b = \frac{\pi}{10} \] Zusammengefasst sind die Konstanten: \[ a = 2 \quad \text{und} \quad b = \frac{\pi}{10} \] Die Funktion lautet also: \[ y = 2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{10}x\right) \]

Um die Konstanten \( a \) und \( b \) in der Funktion \( y = a \cos(bx) \) zu bestimmen, sodass die maximale Differenz der Funktionswerte 4 und der Abstand der Nullstellen 10 beträgt, gehen wir wie folgt vor: 1. **Maximale Differenz der Funktionswerte:** Die maximale Differenz der Funktionswerte einer Kosinusfunktion \( y = a \cos(bx) \) ist \( 2a \), da die Kosinusfunktion zwischen -1 und 1 schwankt. Daher muss gelten: \[ 2a = 4 \implies a = 2 \] 2. **Abstand der Nullstellen:** Die Nullstellen der Funktion \( y = a \cos(bx) \) treten auf, wenn \( \cos(bx) = 0 \). Die Kosinusfunktion hat Nullstellen bei \( x = \frac{\pi}{2b} + k\frac{\pi}{b} \) für \( k \in \mathbb{Z} \). Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen ist daher: \[ \frac{\pi}{b} \] Es wird gefordert, dass dieser Abstand 10 beträgt: \[ \frac{\pi}{b} = 10 \implies b = \frac{\pi}{10} \] Zusammengefasst sind die Konstanten: \[ a = 2 \quad \text{und} \quad b = \frac{\pi}{10} \] Die Funktion lautet somit: \[ y = 2 \cos\left(\frac{\pi}{10}x\right) \]

Die Maximalwerte der Sinusfunktion (sin(x)) sind 1 und -1. Der Sinuswert eines Winkels x liegt immer im Bereich von -1 bis 1, unabhängig vom Wert von x.

Die Nullstellen der Sinusfunktion \( \sin(x) \) sind die Werte von \( x \), bei denen die Funktion den Wert 0 annimmt. Diese Nullstellen liegen bei: \[ x = n\pi \] wobei \( n \) eine ganze Zahl ist (d.h. \( n \in \mathbb{Z} \)). Das bedeutet, die Nullstellen der Sinusfunktion sind bei \( x = 0, \pm\pi, \pm2\pi, \pm3\pi, \ldots \).

Die Sinusfunktion, oft als \( \sin(x) \) geschrieben, ist für alle reellen Zahlen definiert. Das bedeutet, der Definitionsbereich der Sinusfunktion ist die Menge aller reellen Zahlen, also \( \mathbb{R} \). Die Werte, die die Sinusfunktion annimmt, liegen im Intervall \([-1, 1]\). Das bedeutet, für jeden Wert \( x \) im Definitionsbereich gilt \( -1 \leq \sin(x) \leq 1 \).

Der Definitionsbereich der Sinusfunktion, also der Funktion \( \sin(x) \), umfasst alle reellen Zahlen. Mathematisch ausgedrückt ist der Definitionsbereich \( \mathbb{R} \). Das bedeutet, dass du für \( x \) jeden beliebigen reellen Wert einsetzen kannst.