11 Fragen zu Stammfunktion

Um die Stammfunktion der Funktion \( f(x) = (-0,001x^3 + 0,034x^2 - 0,249x + 3,4)^2 \) zu bestimmen, musst du die Funktion zuerst ausmultiplizieren und dann die Integrationsregeln anwenden. 1. **Ausmultiplizieren**: \[ f(x) = (-0,001x^3 + 0,034x^2 - 0,249x + 3,4)^2 \] Dies ergibt eine Polynomfunktion, die du dann in der Form \( ax^n \) schreiben kannst. 2. **Stammfunktion bestimmen**: Die Stammfunktion eines Terms \( ax^n \) ist \( \frac{a}{n+1}x^{n+1} + C \), wobei \( C \) eine Konstante ist. Da die Ausmultiplizierung und die anschließende Integration recht aufwendig sein können, empfehle ich, dies mit einem Computer-Algebra-System oder einer Software wie Wolfram Alpha oder einem ähnlichen Tool durchzuführen, um die genaue Form der Stammfunktion zu erhalten. Wenn du die Funktion ausmultiplizierst und die einzelnen Terme integrierst, erhältst du die Stammfunktion.

Um eine Stammfunktion \( F(x) \) von \( f(x) = -2x \cdot \sin(x^2) \) zu bestimmen, kannst du die Methode der Substitution verwenden. Setze \( u = x^2 \). Dann ist \( du = 2x \, dx \) oder \( dx = \frac{du}{2x} \). Da \( x = \sqrt{u} \), wird \( dx = \frac{du}{2\sqrt{u}} \). Die Funktion \( f(x) \) wird dann umgeschrieben: \[ f(x) = -2x \cdot \sin(x^2) = -2x \cdot \sin(u) \] Jetzt ersetzen wir \( dx \): \[ f(x) \, dx = -2x \cdot \sin(u) \cdot \frac{du}{2x} = -\sin(u) \, du \] Die Stammfunktion von \( -\sin(u) \) ist \( \cos(u) + C \). Jetzt setzen wir \( u = x^2 \) zurück: \[ F(x) = \cos(x^2) + C \] Somit ist eine Stammfunktion \( F(x) = \cos(x^2) + C \), wobei \( C \) eine Konstante ist.

Die Stammfunktion von \(\ln(3)\) ist \(\ln(3) \cdot x + C\), wobei \(C\) die Integrationskonstante ist. Da \(\ln(3)\) eine Konstante ist, wird sie beim Integrieren einfach mit \(x\) multipliziert.

Die Stammfunktion von \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) ist \( \sqrt{x} + C \), wobei \( C \) die Integrationskonstante ist. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass die Ableitung von \( \sqrt{x} \) gleich \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) ist.

Ja, alle Graphen einer Stammfunktion ändern ihr Krümmungsverhalten an denselben Stellen. Der Grund dafür ist, dass die Krümmung eines Graphen durch die zweite Ableitung der Funktion bestimmt wird. Wenn eine Funktion \( F(x) \) eine Stammfunktion von \( f(x) \) ist, dann ist \( F''(x) = f'(x) \). Da die zweite Ableitung \( F''(x) \) für alle Stammfunktionen von \( f(x) \) gleich ist, ändern alle Graphen der Stammfunktionen ihr Krümmungsverhalten an denselben Stellen.

Ja, wenn eine Stammfunktion das Krümmungsverhalten ändert, dann tun dies auch alle anderen Stammfunktionen derselben Funktion. Der Grund dafür ist, dass sich alle Stammfunktionen einer Funktion \( f(x) \) nur durch eine additive Konstante unterscheiden. Diese Konstante beeinflusst die Lage des Graphen, aber nicht dessen Krümmungsverhalten. Das Krümmungsverhalten eines Graphen wird durch die zweite Ableitung bestimmt. Wenn \( F(x) \) eine Stammfunktion von \( f(x) \) ist, dann ist \( F''(x) = f(x) \). Da die zweite Ableitung \( F''(x) \) für alle Stammfunktionen gleich ist, haben alle Stammfunktionen dasselbe Krümmungsverhalten.

Die Normalparabel hat die Gleichung \( f(x) = x^2 \). Die Stammfunktion \( F(x) \) dieser Funktion erhält man durch Integration: \[ F(x) = \int x^2 \, dx \] Die Stammfunktion von \( x^2 \) ist: \[ F(x) = \frac{1}{3}x^3 + C \] wobei \( C \) eine Konstante ist, die die unbestimmte Integration berücksichtigt.

Die Stammfunktion von \( x^{-3} \) ist: \[ \int x^{-3} \, dx = \int x^{-3} \, dx = \int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C \] wobei \( C \) die Konstante der Integration ist.

Die Stammfunktion von \( x^{-1} \) ist \( \ln|x| + C \), wobei \( C \) eine Konstante ist.

Die Stammfunktion von \( x^{-2} \) ist \( -x^{-1} + C \), wobei \( C \) die Integrationskonstante ist. Mathematisch ausgedrückt: \[ \int x^{-2} \, dx = -\frac{1}{x} + C \]

Die Stammfunktion, auch als unbestimmtes Integral bezeichnet, zeigt die Funktion an, deren Ableitung gegebene Funktion ist. Mit anderen Worten, wenn du eine Funktion \( f(x) \) hast, dann ist die Stammfunktion \( F(x) \) eine Funktion, die die Eigenschaft \( F'(x) = f(x) \) erfüllt. Die Stammfunktion wird oft verwendet, um Flächen unter Kurven zu berechnen und in vielen Bereichen der Mathematik und Physik angewendet.