1 Frage zu Substitutionsverfahren

Das Substitutionsverfahren bei der Integration, auch als "Wechsel der Variablen" bekannt, ist eine Technik, die darauf abzielt, eine gegebene Integralform in eine einfachere Form zu transformieren, die leichter zu lösen ist. Die Begründung für dieses Verfahren basiert auf der Kettenregel der Differentiation und der Umkehrung dieser Regel im Kontext der Integration. Hier ist eine grundlegende Erklärung: 1. **Kettenregel der Differentiation**: Wenn du eine Funktion \( y = f(g(x)) \) hast, dann ist die Ableitung \( \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) \). 2. **Umkehrung für die Integration**: Wenn du ein Integral der Form \( \int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx \) hast, kannst du die Substitution \( u = g(x) \) verwenden. Dann ist \( du = g'(x) \, dx \), und das Integral wird zu \( \int f(u) \, du \). 3. **Ziel der Substitution**: Durch die Substitution wird das Integral in eine Form gebracht, die einfacher zu integrieren ist. Nach der Integration in Bezug auf \( u \) wird die ursprüngliche Variable \( x \) durch Rücksubstitution wiederhergestellt. Das Substitutionsverfahren ist also im Wesentlichen eine Anwendung der Kettenregel in umgekehrter Richtung, um die Integration zu erleichtern. Es ist besonders nützlich, wenn die innere Funktion und ihre Ableitung im Integral vorhanden sind, was die direkte Anwendung der Substitution ermöglicht.