3 Fragen zu Umkehrfunktion

Um zu überprüfen, ob die Funktion \( f(x) = 2x^2 + 8x + 6 \) den angegebenen Wertebereich \( W_f = [-1, 5] \) hat und ob die Umkehrfunktion korrekt ist, gehen wir wie folgt vor: 1. **Bestimmung des Wertebereichs von \( f \)**: - Zuerst bestimmen wir die Funktion \( f(x) \) und ihre Extrempunkte. Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, können wir die Scheitelpunktform verwenden oder die Ableitung nutzen. - Die Ableitung ist \( f'(x) = 4x + 8 \). Setze \( f'(x) = 0 \) um die Extrempunkte zu finden: \[ 4x + 8 = 0 \implies x = -2 \] - Der Scheitelpunkt liegt also bei \( x = -2 \). Da \( -2 \) nicht im Intervall \( [-1, 5] \) liegt, müssen wir die Funktionswerte an den Randpunkten \( x = -1 \) und \( x = 5 \) berechnen: \[ f(-1) = 2(-1)^2 + 8(-1) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0 \] \[ f(5) = 2(5)^2 + 8(5) + 6 = 50 + 40 + 6 = 96 \] - Der Funktionswert bei \( x = -2 \) ist: \[ f(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 6 = 8 - 16 6 = -2 \] - Der Wertebereich von \( f \) auf dem Intervall \( [-1, 5] \) ist also \( [0, 96] \), nicht \( [-1, 5] \). 2. **Überprüfung der Umkehrfunktion**: - Die angegebene Umkehrfunktion ist \( f^{-1}(x) = -2 - 1 + \sqrt{x^2} \). Diese Form scheint nicht korrekt zu sein, da sie nicht die Form einer Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion widerspiegelt. - Um die Umkehrfunktion zu finden, müsste man die Gleichung \( y = 2x^2 + 8x + 6 \) nach \( x \) umstellen, was komplizierter ist und nicht einfach durch die angegebene Formel dargestellt werden kann. Zusammenfassend ist der Wertebereich von \( f \) nicht \( [-1, 5] \), und die angegebene Umkehrfunktion scheint nicht korrekt zu sein.

Um zu bestimmen, welche Hyperbeln der Form \( y = \frac{c}{x - a} + b \) identisch mit ihrer Umkehrfunktion sind, müssen wir die Umkehrfunktion \( f^{-1}(y) \) finden und diese mit der ursprünglichen Funktion \( f(x) \) vergleichen. 1. **Ursprüngliche Funktion**: \[ y = \frac{c}{x - a} + b \] Umgestellt nach \( x \): \[ y - b = \frac{c}{x - a} \] \[ (y - b)(x - a) = c \] \[ x - a = \frac{c}{y - b} \] \[ x = \frac{c}{y - b} + a \] 2. **Umkehrfunktion**: Die Umkehrfunktion ist also: \[ f^{-1}(y) = \frac{c}{y - b} + a \] 3. **Identität der Funktion und ihrer Umkehrfunktion**: Um zu prüfen, ob \( f(x) = f^{-1}(y) \) gilt, setzen wir \( y = f(x) \) in die Umkehrfunktion ein: \[ f(f(x)) = f\left(\frac{c}{x - a} + b\right) \] Setzen wir \( y = \frac{c}{x - a} + b \) in die Umkehrfunktion ein: \[ f^{-1}\left(\frac{c}{x - a} + b\right) = \frac{c}{\left(\frac{c}{x - a} + b\right) - b} + a \] \[ = \frac{c}{\frac{c}{x - a}} + a = x - a + a = x \] 4. **Bedingung für Identität**: Damit die Funktion identisch mit ihrer Umkehrfunktion ist, muss gelten: \[ f(x) = x \] Das bedeutet: \[ \frac{c}{x - a} + b = x \] Um dies zu lösen, bringen wir alle Terme auf eine Seite: \[ \frac{c}{x - a} = x - b \] Multiplizieren wir beide Seiten mit \( x - a \): \[ c = (x - b)(x - a) \] Dies ist eine quadratische Gleichung in \( x \). Damit diese Gleichung für alle \( x \) gilt, müssen die Koeffizienten so gewählt werden, dass die Gleichung konstant ist, was nur für spezielle Werte von \( a, b, c \) möglich ist. Zusammenfassend sind die Hyperbeln identisch mit ihrer Umkehrfunktion, wenn die Gleichung \( c = (x - b)(x - a) \) für alle \( x \) gilt, was nur für spezielle Werte von \( a, b, c \) der Fall ist. Ein Beispiel wäre, wenn \( c = 0 \), was zu einer konstanten Funktion führt.

Umkehrfunktionen, auch inverse Funktionen genannt, sind Funktionen, die die Wirkung einer anderen Funktion rückgängig machen. Wenn du eine Funktion \( f \) hast, die einen Wert \( x \) auf \( y \) abbildet (also \( f(x) = y \)), dann ist die Umkehrfunktion \( f^{-1} \) die Funktion, die \( y \) wieder auf \( x \) abbildet (also \( f^{-1}(y) = x \)). Hier sind die Schritte, um die Umkehrfunktion einer gegebenen Funktion \( f \) zu finden: 1. **Schreibe die Funktion als Gleichung:** Beginne mit der Gleichung \( y = f(x) \). 2. **Vertausche \( x \) und \( y \):** Schreibe die Gleichung um, sodass \( x \) auf der linken Seite steht und \( y \) auf der rechten Seite. Das ergibt \( x = f(y) \). 3. **Löse nach \( y \) auf:** Isoliere \( y \) auf einer Seite der Gleichung, um die Umkehrfunktion zu finden. Das Ergebnis ist \( y = f^{-1}(x) \). 4. **Überprüfe die Umkehrbarkeit:** Stelle sicher, dass die ursprüngliche Funktion \( f \) bijektiv ist (d.h., sie ist sowohl injektiv als auch surjektiv), damit eine eindeutige Umkehrfunktion existiert. **Beispiel:** Gegeben sei die Funktion \( f(x) = 2x + 3 \). 1. Schreibe die Funktion als Gleichung: \( y = 2x + 3 \). 2. Vertausche \( x \) und \( y \): \( x = 2y + 3 \). 3. Löse nach \( y \) auf: \[ x - 3 = 2y \\ y = \frac{x - 3}{2} \] 4. Die Umkehrfunktion ist also \( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \). Umkehrfunktionen sind nützlich in vielen Bereichen der Mathematik und angewandten Wissenschaften, da sie es ermöglichen, die ursprünglichen Eingabewerte aus den Ausgabewerten einer Funktion zu rekonstruieren.