2 Fragen zu Unvollständigkeit

Die Unvollständigkeitssätze von Kurt Gödel zeigen, dass jedem hinreichend mächtigen formalen System, das die Axiome der Arithmetik umfasst, es wahre Aussagen gibt die innerhalb dieses Systems beweisbar sind. Dies wird durch zwei Hauptsätze verdeutlicht: 1. **Erster Unvollständigkeitssatz**: In jedem konsistenten formalen System, das stark genug ist, die Arithmetik der natürlichen Zahlen zu beschreiben, gibt es Aussagen, die weder bewiesen noch widerlegt werden können. Das bedeutet, es existieren wahre arithmetische Aussagen, die innerhalb des Systems nicht beweisbar sind. 2. **Zweiter Unvollständigkeitssatz**: Ein solches System kann seine eigene Konsistenz nicht beweisen. Das heißt, wenn das System konsistent ist, kann es nicht beweisen, dass es konsistent ist. Diese Sätze zeigen, dass es Grenzen für das gibt, was in einem formalen System bewiesen werden kann. Selbst wenn alle Axiome des Systems wahr sind und die Ableitungsregeln korrekt angewendet werden, gibt es immer noch wahre Aussagen, die nicht aus diesen Axiomen ableitbar sind. Gödel konstruierte eine spezielle Aussage (oft als "Gödel-Satz" bezeichnet), die im Wesentlichen besagt: "Diese Aussage ist nicht beweisbar." Wenn diese Aussage im System beweisbar wäre, würde das zu einem Widerspruch führen, da das System dann inkonsistent wäre. Da das System konsistent ist, muss die Aussage wahr, aber unbeweisbar sein.

Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze haben gezeigt, dass in jedem hinreichend mächtigen formalen System, das die Axiome der Arithmetik umfasst, es Aussagen gibt, die weder bewiesen noch widerlegt werden können. Dies hat tiefgreifende Implikationen für den Logizismus, der die Mathematik auf eine rein logische Grundlage stellen wollte. Der Logizismus, vertreten durch Philosophen wie Frege und Russell, strebte danach, alle mathematischen Wahrheiten aus einer begrenzten Menge logischer Axiome und Regeln abzuleiten. Die Unvollständigkeitssätze von Gödel zeigten jedoch, dass es in solchen Systemen immer wahre Aussagen gibt, die nicht aus den Axiomen ableitbar sind. Dies bedeutet, dass die Mathematik nicht vollständig durch logische Axiome und Regeln erfasst werden kann. Daher wird das Scheitern des Logizismus oft auf die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze zurückgeführt, da diese Sätze die Grenzen der formalen Systeme aufzeigten und damit die Hoffnung zerstörten, dass die gesamte Mathematik auf eine logische Grundlage gestellt werden kann.