24 Fragen zu Vektoren

Um die beiden gegebenen Ebenen \( E_1 \) und \( E_2 \) zu analysieren, schauen wir uns zunächst die Parameterdarstellungen der Ebenen an. Die Ebene \( E_1 \) ist gegeben durch: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \] Die Ebene \( E_2 \) ist gegeben durch: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \] Um zu überprüfen, ob die Ebenen sich schneiden, parallel sind oder identisch, können wir die Richtungsvektoren und Stützvektoren der beiden Ebenen vergleichen. 1. **Richtungsvektoren von \( E_1 \)**: - \( \vec{d_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \) - \( \vec{d_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \) 2. **Richtungsvektoren von \( E_2 \)**: - \( \vec{d_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \) - \( \vec{d_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \) Um zu prüfen, ob die Ebenen parallel sind, können wir die Richtungsvektoren von \( E_1 \) und \( E_2 \) auf Linearunabhängigkeit untersuchen. Wenn die Richtungsvektoren von \( E_1 \) und \( E_2 \) linear unabhängig sind, sind die Ebenen nicht parallel. 3. **Stützvektoren**: - Stützvektor von \( E_1 \): \( \vec{p_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) - Stützvektor von \( E_2 \): \( \vec{p_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \) Um den Schnittpunkt der beiden Ebenen zu finden, setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst das entstehende Gleichungssystem. \[ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \] Das ergibt ein System von Gleichungen, das gelöst werden kann, um die Werte von \( \lambda_1, \mu_1, \lambda_2, \mu_2 \) zu finden. Zusammenfassend: Um die Beziehung zwischen den beiden Ebenen zu bestimmen, ist es notwendig, die Richtungsvektoren und Stützvektoren zu analysieren und gegebenenfalls ein Gleichungssystem aufzustellen.

Um das Volumen \( V \) des von den Vektoren \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) und \( \vec{u} \times \vec{v} \) aufgespannten Spats zu berechnen, kannst du die Formel für das Volumen eines Spats verwenden, das durch drei Vektoren aufgespannt wird: \[ V = \left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right| \] In diesem Fall ist \( \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} \). Zuerst berechnen wir das Kreuzprodukt \( \vec{u} \times \vec{v} \). Die Vektoren sind: \[ \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] Das Kreuzprodukt \( \vec{u} \times \vec{v} \) wird wie folgt berechnet: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \cdot 1 - 3 \cdot 1) \\ (3 \cdot -1 - 2 \cdot 1) \\ (2 \cdot 1 - 1 \cdot -1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 3 \\ -3 - 2 \\ 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \] Nun berechnen wir das Skalarprodukt \( \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \): \[ \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot -2 + 1 \cdot -5 + 3 \cdot 3 = -4 - 5 + 9 = 0 \] Das Volumen \( V \) ist also: \[ V = \left| 0 \right| = 0 \] Das bedeutet, dass die Vektoren \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) und \( \vec{u} \times \vec{v} \) in einer Ebene liegen und somit kein Volumen aufspannen. Das Volumen des Spats ist \( 0 \).

Um den Winkel φ zwischen den beiden Vektoren \( \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) und \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \) zu bestimmen, kannst du die Formel für den Kosinus des Winkels verwenden: \[ \cos(\phi) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|} \] Hierbei ist \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \) das Skalarprodukt der Vektoren und \( \|\mathbf{u}\| \) und \( \|\mathbf{v}\| \) die Längen der Vektoren. 1. **Berechnung des Skalarprodukts \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \)**: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32 \] 2. **Berechnung der Längen der Vektoren**: \[ \|\mathbf{u}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \] \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{77} \] 3. **Einsetzen in die Formel**: \[ \cos(\phi) = \frac{32}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} = \frac{32}{\sqrt{1078}} \] 4. **Berechnung von φ**: Um den Winkel φ zu finden, nimm den arccos: \[ \phi = \arccos\left(\frac{32}{\sqrt{1078}}\right) \] Jetzt kannst du den Wert von φ mit einem Taschenrechner oder einer Software berechnen. Der Winkel φ wird in Radiant oder Grad angegeben, je nach Bedarf.

Um die Linearkombination zu berechnen, gehen wir Schritt für Schritt vor: 1. Multipliziere den Vektor \((-6|-1|0)\) mit \(-2\): \[ -2 \cdot (-6|-1|0) = (12|2|0) \] 2. Multipliziere den Vektor \((0|-3|15)\) mit \(\frac{1}{3}\): \[ \frac{1}{3} \cdot (0|-3|15) = (0|-1|5) \] 3. Addiere die Vektoren: \[ (-2|6|3) + (12|2|0) + (0|-1|5) \] Zuerst addiere die ersten Komponenten: \[ -2 + 12 + 0 = 10 \] Dann die zweiten Komponenten: \[ 6 + 2 - 1 = 7 \] Und schließlich die dritten Komponenten: \[ 3 + 0 + 5 = 8 \] 4. Das Ergebnis der Linearkombination ist: \[ (10|7|8) \]

Was sind effektive Meta-Titel für Wärmepumpen-Konktoren?

Der Winkel zwischen zwei Variablenvektoren in der Faktorenanalyse gibt an, wie stark die beiden Variablen miteinander korrelieren. Ein kleiner Winkel (nahe 0 Grad) deutet auf eine hohe positive Korrelation hin, während ein Winkel von 90 Grad darauf hinweist, dass die Variablen unkorreliert sind. Ein Winkel größer als 90 Grad zeigt eine negative Korrelation an. Diese geometrische Interpretation hilft, die Beziehungen zwischen den Variablen und den zugrunde liegenden Faktoren zu verstehen.

Um zu überprüfen, ob die Vektoren \((1,1,0)\), \((1,1,1)\) und \((0,1,-1)\) linear unabhängig sind, kann man die Determinante der Matrix berechnen, die diese Vektoren als Spalten hat. Wenn die Determinante ungleich null ist, sind die Vektoren linear unabhängig. Die Matrix, die diese Vektoren als Spalten hat, ist: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \] Die Determinante dieser Matrix berechnet sich wie folgt: \[ \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = 1 \cdot \left( \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \right) - 1 \cdot \left( \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right) + 0 \cdot \left( \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) \] Nun berechnen wir die 2x2 Determinanten: \[ \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = (1 \cdot -1) - (1 \cdot 1) = -1 - 1 = -2 \] \[ \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = (1 \cdot -1) - (1 \cdot 0) = -1 - 0 = -1 \] Setzen wir diese Werte in die ursprüngliche Determinantenberechnung ein: \[ \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-2) - 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (0) = -2 + 1 = -1 \] Da die Determinante \(-1\) und somit ungleich null ist, sind die Vektoren \((1,1,0)\), \((1,1,1)\) und \((0,1,-1)\) linear unabhängig.

Um die effektive Schwimmgeschwindigkeit eines Schwimmers zu bestimmen, der gegen die Strömung schwimmt, müssen die Geschwindigkeiten vektoriell addiert werden. Da die Strömung und die Schwimmgeschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen wirken, subtrahiert man die Geschwindigkeit der Strömung von der Schwimmgeschwindigkeit. Gegeben: - Schwimmgeschwindigkeit des Schwimmers \( v_s = 0,5 \, \text{m/s} \) - Strömungsgeschwindigkeit \( v_{str} = 0,4 \, \text{m/s} \) Da die Strömung gegen die Schwimmrichtung wirkt, ergibt sich die effektive Geschwindigkeit \( v_{eff} \) wie folgt: \[ v_{eff} = v_s - v_{str} \] Einsetzen der Werte: \[ v_{eff} = 0,5 \, \text{m/s} - 0,4 \, \text{m/s} = 0,1 \, \text{m/s} \] Die effektive Schwimmgeschwindigkeit des Schwimmers beträgt also \( 0,1 \, \text{m/s} \).

Um festzustellen, ob zwei Vektoren kollinear und somit linear abhängig sind, kannst du folgende Methode anwenden: 1. **Vektoren betrachten**: Nehmen wir an, du hast zwei Vektoren \(\mathbf{a}\) und \(\mathbf{b}\). 2. **Proportionalität prüfen**: Zwei Vektoren \(\mathbf{a}\) und \(\mathbf{b}\) sind kollinear, wenn es einen Skalar \(k\) gibt, so dass \(\mathbf{a} = k \mathbf{b}\) oder \(\mathbf{b} = k \mathbf{a}\). 3. **Komponentenweise Vergleich**: Vergleiche die Komponenten der Vektoren. Für Vektoren \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\) und \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\) müssen die Verhältnisse der entsprechenden Komponenten gleich sein: \[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} \] Wenn diese Gleichung für alle Komponenten erfüllt ist, sind die Vektoren kollinear. 4. **Kreuzprodukt (für 3D-Vektoren)**: Alternativ kannst du das Kreuzprodukt der beiden Vektoren berechnen. Wenn das Kreuzprodukt \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) gleich dem Nullvektor ist, dann sind die Vektoren kollinear. Beispiel: - Gegeben seien die Vektoren \(\{a} = (2, 4,6)\) und \(\mathbf{b} = (1, 2, 3)\). - Prüfe die Verhältnisse: \(\frac{2}{1} = 2\), \(\frac{4}{2} = 2\), \(\frac{6}{3} = 2\). - Da alle Verhältnisse gleich sind, sind die Vektoren kollinear. Diese Methoden helfen dir, die Kollinearität und lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren zu überprüfen.

Um zu überprüfen, ob die Vektoren \((1,1,1)\), \((1,0,1)\), \((2,1,1)\) und \((1,2,2)\) linear unabhängig sind, kann man sie in eine Matrix eintragen und die Determinante berechnen. Wenn die Determinante der Matrix ungleich null ist, sind die Vektoren linear unabhängig. Andernfalls sind sie linear abhängig. Die Matrix, die aus diesen Vektoren gebildet wird, sieht wie folgt aus: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] Da es sich um eine \(3 \times 4\)-Matrix handelt (mehr Spalten als Zeilen), kann die Determinante nicht direkt berechnet werden. Stattdessen kann man das Rangkriterium verwenden. Wenn der Rang der Matrix kleiner als die Anzahl der Vektoren (4) ist, sind die Vektoren linear abhängig. Führe die Zeilenreduktion durch, um den Rang der Matrix zu bestimmen: 1. Subtrahiere die erste Zeile von der zweiten und dritten Zeile: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \] 2. Multipliziere die zweite Zeile mit \(-1\): \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \] 3. Addiere die zweite Zeile zur dritten Zeile: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Die Matrix hat nun eine Zeile, die vollständig aus Nullen besteht, was bedeutet, dass der Rang der Matrix 3 ist. Da der Rang der Matrix kleiner als die Anzahl der Vektoren (4) ist, sind die Vektoren linear abhängig. Daher können die Vektoren \((1,1,1)\), \((1,0,1)\), \((2,1,1)\) und \((1,2,2)\) nicht linear unabhängig sein.

Ja, vier Vektoren können linear unabhängig sein, wenn sie in einem vierdimensionalen Vektorraum existieren. In einem \( n \)-dimensionalen Vektorraum können maximal \( n \) Vektoren linear unabhängig sein. Das bedeutet, dass in einem vierdimensionalen Raum (wie \(\mathbb{R}^4\)) bis zu vier Vektoren linear unabhängig sein können. Wenn die Vektoren in einem Raum mit weniger als vier Dimensionen existieren, können sie nicht alle linear unabhängig sein.

Um Kräfte im physikalischen Sinne zu addieren, verwendet man die Vektorrechnung, da Kräfte Vektoren sind und sowohl eine Größe als auch eine Richtung haben. Hier sind die grundlegenden Schritte zur Addition von Kräften: 1. **Darstellung der Kräfte als Vektoren**: Jede Kraft wird als Vektor dargestellt, der durch seine Komponenten in einem Koordinatensystem beschrieben wird. Zum Beispiel kann eine Kraft \( \vec{F_1} \) in einem zweidimensionalen Raum durch ihre Komponenten \( F_{1x} \) und \( F_{1y} \) beschrieben werden. 2. **Komponentenweise Addition**: Die Komponenten der Kräfte werden getrennt addiert. Wenn du zwei Kräfte \( \vec{F_1} \) und \( \vec{F_2} \) hast, dann addierst du die x-Komponenten und die y-Komponenten separat: \[ \vec{F_{ges}} = \vec{F_1} + \vec{F_2} \] \[ F_{ges,x} = F_{1x} + F_{2x} \] \[ F_{ges,y} = F_{1y} + F_{2y} \] 3. **Resultierende Kraft**: Die resultierende Kraft \( \vec{F_{ges}} \) ist dann der Vektor, der durch die addierten Komponenten beschrieben wird: \[ \vec{F_{ges}} = (F_{ges,x}, F_{ges,y}) \] 4. **Grafische Methode (optional)**: Alternativ kann man Kräfte auch grafisch addieren, indem man die Vektoren in einem Koordinatensystem aneinanderhängt (Kopf-zu-Schwanz-Methode) und den resultierenden Vektor vom Anfangspunkt des ersten Vektors zum Endpunkt des letzten Vektors zeichnet. Für dreidimensionale Kräfte wird das gleiche Prinzip angewendet, wobei zusätzlich die z-Komponente berücksichtigt wird. Beispiel: Wenn \( \vec{F_1} = (3, 4) \) und \( \vec{F_2} = (1, 2) \), dann ist die resultierende Kraft: \[ \vec{F_{ges}} = (3+1, 4+2) = (4, 6) \] Diese Methode stellt sicher, dass sowohl die Größe als auch die Richtung der Kräfte korrekt berücksichtigt werden.

Um Vektoren zu addieren, addierst du die entsprechenden Komponenten der Vektoren. Hier ist eine-für-Schritt-Anleitung: 1. **Identifiziere die Komponenten der Vektoren**: Angenommen, du hast zwei Vektoren \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\). - \(\mathbf{A} = (A_1, A_2, \ldots, A_n)\) - \(\mathbf{B} = (B_1, B_2, \ldots, B_n)\) 2. **Addiere die entsprechenden Komponenten**: Die Summe der Vektoren \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\) ist ein neuer Vektor \(\mathbf{C}\), dessen Komponenten die Summe der entsprechenden Komponenten von \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\) sind. - \(\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_1 + B_1, A_2 + B_2, \ldots, A_n + B_n)\) **Beispiel**: - \(\mathbf{A} = (2, 3, 4)\) - \(\mathbf{B} = (1, 0, -1)\) Die Summe \(\mathbf{C}\) ist: - \(\mathbf{C} = (2 + 1, 3 + 0, 4 - 1) = (3, 3, 3)\) Das Ergebnis ist der Vektor \(\mathbf{C} = (3, 3, 3)\).

Um den Winkel zu ermitteln, mit dem zwei Kräfte mit gleichem Betrag so an einem Punkt angreifen, dass die Summe der Kräfte ebenfalls diesen Betrag hat, kann die Vektorrechnung verwendet werden. Sei \( F \) der Betrag jeder der beiden Kräfte. Die Summe der beiden Kräfte soll ebenfalls den Betrag \( F \) haben. Die beiden Kräfte können als Vektoren dargestellt werden: \[ \vec{F_1} = F \] \[ \vec{F_2} = F \] Der Betrag der Summe der beiden Kräfte ist: \[ |\vec{F_1} + \vec{F_2}| = F \] Wenn die beiden Kräfte einen Winkel \(\theta\) zueinander haben, dann gilt für die Summe der Vektoren: \[ |\vec{F_1} + \vec{F_2}| = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 \cdot F \cdot F \cdot \cos(\theta)} \] Da der Betrag der Summe der Kräfte ebenfalls \( F \) sein soll, setzen wir dies gleich: \[ F = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 \cdot F^2 \cdot \cos(\theta)} \] Vereinfachen wir die Gleichung: \[ F = \sqrt{2F^2 + 2F^2 \cos(\theta)} \] \[ F = \sqrt{2F^2 (1 + \cos(\theta))} \] \[ F = F \sqrt{2 (1 + \cos(\theta))} \] Teilen wir beide Seiten durch \( F \): \[ 1 = \sqrt{2 (1 + \cos(\theta))} \] Quadrieren wir beide Seiten: \[ 1 = 2 (1 + \cos(\theta)) \] \[ 1 = 2 + 2 \cos(\theta) \] \[ 1 - 2 = 2 \cos(\theta) \] \[ -1 = 2 \cos(\theta) \] \[ \cos(\theta) = -\frac{1}{2} \] Der Winkel \(\theta\), für den \(\cos(\theta) = -\frac{1}{2}\), ist: \[ \theta = 120^\circ \] Also müssen die beiden Kräfte einen Winkel von \( 120^\circ \) zueinander haben, damit die Summe der Kräfte ebenfalls den Betrag \( F \) hat.

Um eine Geradengleichung mit Punkten und Vektoren aufzustellen, kannst du die Parameterform oder die Koordinatenform verwenden. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung beide Methoden: ### Parameterform (Vektorform) 1. **Bestimme einen Punkt auf der Geraden**: Sei dieser Punkt \( P_0(x_0, y_0, z_0) \). 2. **Bestimme einen Richtungsvektor**: Sei dieser Vektor \( \vec{d} = (a, b, c) \). Dieser Vektor gibt die Richtung der Geraden an. 3. **Parameterform der Geraden**: Die Geradengleichung in Parameterform lautet: \[ \vec{r}(t) = \vec{P_0} + t \cdot \vec{d} \] wobei \( \vec{r}(t) \) der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden ist und \( t \) ein Parameter (reelle Zahl). In Komponentenform: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \] ### Koordinatenform 1. **Bestimme zwei Punkte auf der Geraden**: Sei \( P_1(x_1, y_1, z_1) \) und \( P_2(x_2, y_2, z_2) \). 2. **Berechne den Richtungsvektor**: Der Richtungsvektor \( \vec{d} \) ist die Differenz der beiden Punkte: \[ \vec{d} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{pmatrix} \] 3. **Parameterform der Geraden**: Verwende einen der beiden Punkte (z.B. \( P_1 \)) und den Richtungsvektor \( \vec{d} \), um die Parameterform wie oben beschrieben aufzustellen. ### Beispiel Gegeben seien die Punkte \( P_1(1, 2, 3) \) und \( P_2(4, 5, 6) \). 1. **Richtungsvektor**: \[ \vec{d} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 5 - 2 \\ 6 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] 2. **Parameterform**: \[ \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] In Komponentenform: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] Das ist die Geradengleichung in Parameterform.