3 Fragen zu X-werte

Um die Exponentialgleichung \( 16^{x+16} 10 \cdot4^x \) zu lösen, können wir die Basis umformen. Zunächst schreiben wir \( 16 \) und \( 4 \) als Potenzen von \( 2 \): \[ 16 = 2^4 \quad \text{und} \quad 4 = 2^2 \] Somit wird die Gleichung: \[ (2^4)^{x+16} = 10 \cdot (2^2)^x \] Das vereinfacht sich zu: \[ 2^{4(x+16)} = 10 \cdot 2^{2x} \] Nun können wir die Exponenten auf der linken Seite zusammenfassen: \[ 2^{4x + 64} = 10 \cdot 2^{2x} \] Um die Gleichung zu vereinfachen, teilen wir beide Seiten durch \( 2^{2x} \): \[ 2^{4x + 64 - 2x} = 10 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 2^{2x + 64} = 10 \] Nun wenden wir den Logarithmus an, um \( x \) zu isolieren: \[ 2x + 64 = \log_2(10) \] Daraus folgt: \[ 2x = \log_2(10) - 64 \] Und schließlich: \[ x = \frac{\log_2(10) - 64}{2} \] Um \( x \) zu berechnen, kannst du den Wert von \( \log_2(10) \) verwenden, der ungefähr \( 3.32193 \) beträgt: \[ x \approx \frac{3.32193 - 64}{2} \approx \frac{-60.67807}{2} \approx -30.339035 \] Da es sich um eine Exponentialgleichung handelt, gibt es in diesem Fall nur eine Lösung für \( x \). Daher ist \( x_1 \approx -30.34 \) und es gibt kein \( x_2 \).

Um die Werte für \( x \) zu bestimmen, für die der Term definiert ist, müssen die Nenner ungleich null sein. Der Term lautet: \[ \frac{3}{x} + \frac{2}{x} \] Für diesen Term ist \( x \neq 0 \), da eine Division durch null nicht definiert ist. Nun zur Kürzung des Bruchterms: \[ \frac{3}{x} + \frac{2}{x} = \frac{3 + 2}{x} = \frac{5}{x} \] Der gekürzte Term ist also: \[ \frac{5}{x} \] Zusammengefasst: - Der Term ist definiert für \( x \neq 0 \). - Der gekürzte Term ist \( \frac{5}{x} \).

Um den Ausdruck \(\frac{1 + x}{1 + x}\) zu vereinfachen, muss zunächst überprüft werden, ob der Nenner null wird. Der Ausdruck ist definiert, solange der Nenner nicht null ist. Der Nenner ist \(1 + x\). Setze \(1 + x = 0\), um die Werte zu finden, bei denen der Ausdruck undefiniert ist: \[1 + x = 0\] \[x = -1\] Der Ausdruck \(\frac{1 + x}{1 + x}\) ist also für alle \(x\) definiert, außer für \(x = -1\). Wenn \(x \neq -1\), kann der Ausdruck vereinfacht werden, da der Zähler und der Nenner identisch sind: \[\frac{1 + x}{1 + x} = 1\] Zusammengefasst: - Der Ausdruck \(\frac{1 + x}{1 + x}\) ist für alle \(x \neq -1\) definiert. - Für \(x \neq -1\) vereinfacht sich der Ausdruck zu \(1\).