3 Fragen zu Zufallsvariable

Ja, das ist korrekt. Für eine diskrete Zufallsvariable \(X\) mit der Verteilungsfunktion \(F(x)\) gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) einen Wert zwischen \(c\) und \(d\) annimmt, durch die Differenz der Verteilungsfunktionen an den Punkten \(d\) und \(c\) gegeben ist. Das bedeutet: \[ P(c < X < d) = F(d) - F(c) \] Allerdings ist zu beachten, dass bei diskreten Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) genau den Wert \(c\) oder \(d\) annimmt, nicht in dieser Gleichung enthalten ist. Daher ist es wichtig, die Definition der Intervalle zu berücksichtigen. In der Regel wird bei diskreten Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit für \(P(c < X < d)\) als \(P(X \leq d) - P(X \leq c)\) interpretiert, was in der Praxis oft zu \(F(d) - F(c)\) führt, wenn \(c\) und \(d\) nicht in den Werten von \(X\) liegen.

Die von einer Zufallsvariable \( X \) erzeugte Sigma-Algebra, oft als \( \sigma(X) \) bezeichnet, ist die kleinste Sigma-Algebra, die \( X \) messbar macht. Formal lässt sich dies wie folgt ausdrücken: \[ \sigma(X) = \{ X^{-1}(B) \mid B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \} \] Hierbei ist \( \mathcal{B}(\mathbb{R}) \) die Borel-Sigma-Algebra auf den reellen Zahlen \( \mathbb{R} \). Das bedeutet, dass \( \sigma(X) \) die Menge aller Ereignisse ist, die durch die Inverse von \( X \) auf Borel-Mengen in \( \mathbb{R} \) zurückgeführt werden können.

Ein Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable ist die Anzahl der Augen, die beim Werfen eines fairen sechsseitigen Würfels erscheinen. Diese Zufallsvariable kann die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 annehmen.