11 Fragen zu Äquivalenzumformung

Um die Gleichung \(3x - 4 = -3x + 8\) zu lösen, führen wir Äquivalenzumformungen durch: 1. Addiere \(3x\) zu beiden Seiten der Gleichung: \[ 3x + 3x - 4 = 8 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 6x - 4 = 8 \] 2. Addiere \(4\) zu beiden Seiten: \[ 6x - 4 + 4 = 8 + 4 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 6x = 12 \] 3. Teile beide Seiten durch \(6\): \[ x = \frac{12}{6} \] Das vereinfacht sich zu: \[ x = 2 \] Die Lösungsmenge ist somit: \[ \{2\} \]

Um die Gleichung \(27 - 15y = 39 - 9\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Zuerst vereinfache die rechte Seite der Gleichung: \[ 39 - 9 = 30 \] Somit wird die Gleichung zu: \[ 27 - 15y = 30 \] 2. Subtrahiere 27 von beiden Seiten der Gleichung, um die Konstante auf der linken Seite zu eliminieren: \[ 27 - 15y - 27 = 30 - 27 \] \[ -15y = 3 \] 3. Teile beide Seiten der Gleichung durch -15, um \(y\) zu isolieren: \[ y = \frac{3}{-15} \] \[ y = -\frac{1}{5} \] Die Lösung der Gleichung ist \( y = -\frac{1}{5} \). Die Lösungsmenge ist: \[ L = \left\{ -\frac{1}{5} \right\} \]

Um die Gleichung \(7x + 15 = 3x + 31\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Subtrahiere \(3x\) von beiden Seiten der Gleichung, um die \(x\)-Terme auf einer Seite zu sammeln: \[ 7x + 15 - 3x = 3x + 31 - 3x \] Das vereinfacht sich zu: \[ 4x + 15 = 31 \] 2. Subtrahiere 15 von beiden Seiten der Gleichung, um die konstanten Terme auf der anderen Seite zu sammeln: \[ 4x + 15 - 15 = 31 - 15 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 4x = 16 \] 3. Teile beide Seiten der Gleichung durch 4, um \(x\) zu isolieren: \[ \frac{4x}{4} = \frac{16}{4} \] Das vereinfacht sich zu: \[ x = 4 \] Die Lösung der Gleichung ist \(x = 4\).

Um die Gleichung \(3x + 14 = 26\) zu lösen, kannst du folgende Äquivalenzumformungen durchführen: 1. Subtrahiere 14 von beiden Seiten der Gleichung: \[ 3x + 14 - 14 = 26 - 14 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 3x = 12 \] 2. Teile beide Seiten der Gleichung durch 3: \[ \frac{3x}{3} = \frac{12}{3} \] Das vereinfacht sich zu: \[ x = 4 \] Die Lösung der Gleichung ist \(x = 4\).

Um die Gleichung \(4x - 2 = 22\) zu lösen, kannst du folgende Äquivalenzumformungen durchführen: 1. Addiere 2 zu beiden Seiten der Gleichung: \[ 4x - 2 + 2 = 22 + 2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 4x = 24 \] 2. Teile beide Seiten der Gleichung durch 4: \[ \frac{4x}{4} = \frac{24}{4} \] Das vereinfacht sich zu: \[ x = 6 \] Die Lösung der Gleichung ist \(x = 6\).

Um die Gleichung \(5z - 7 = 4z + 3\) zu lösen, kannst du die folgenden Schritte der Äquivalenzumformung durchführen: 1. Subtrahiere \(4z\) von beiden Seiten der Gleichung, um die Terme mit \(z\) auf einer Seite zu sammeln: \[ 5z - 4z - 7 = 4z - 4z + 3 \] Das vereinfacht sich zu: \[ z - 7 = 3 \] 2. Addiere 7 zu beiden Seiten der Gleichung, um die Konstante auf die andere Seite zu bringen: \[ z - 7 + 7 = 3 + 7 \] Das vereinfacht sich zu: \[ z = 10 \] Das Ergebnis der Gleichung ist also \(z = 10\).

Um die Gleichung \( x \cdot 3 = 8 \) zu lösen, kannst du eine Äquivalenzformung durchführen. Das bedeutet, du führst eine Operation auf beiden Seiten der Gleichung durch, \( x \) zu isolieren. 1. Teile beide Seiten Gleichung durch 3: \[ x \cdot 3 \div 3 = 8 \div 3 \] 2. Das vereinfacht sich zu: \[ x = \frac{8}{3} \] Also ist die Lösung \( x = \frac{8}{3} \).

Die Gleichung, die du angegeben hast, scheint einen Fehler zu enthalten. Ich nehme an, du meinst die Gleichung \(5x - 1 = 2x + 5\). Hier ist die Äquivalenzumformung, um die Gleichung zu lösen: 1. Subtrahiere \(2x\) von beiden Seiten der Gleichung: \[ 5x - 2x - 1 = 2x - 2x + 5 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 3x - 1 = 5 \] 2. Addiere 1 zu beiden Seiten der Gleichung: \[ 3x - 1 + 1 = 5 + 1 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 3x = 6 \] 3. Teile beide Seiten der Gleichung durch 3: \[ \frac{3x}{3} = \frac{6}{3} \] Das vereinfacht sich zu: \[ x = 2 \] Die Lösung der Gleichung ist \(x = 2\).

Um die Gleichung \(3x = x + 6\) zu lösen, kannst du folgende Äquivalenzumformungen durchführen: 1. Subtrahiere \(x\) von beiden Seiten der Gleichung: \[ 3x - x = x + 6 - x \] Das vereinfacht sich zu: \[ 2x = 6 \] 2. Teile beide Seiten der Gleichung durch 2: \[ \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \] Das ergibt: \[ x = 3 \] Die Lösung der Gleichung ist also \(x = 3\).

Um die Gleichung \( x:4 - 1 = 9 \) zu lösen, kannst du folgende Äquivalenzumformungen durchführen: 1. Addiere 1 zu beiden Seiten der Gleichung, um die -1 zu eliminieren: \[ x:4 - 1 + 1 = 9 + 1 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x:4 = 10 \] 2. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit 4, um die Division durch 4 zu eliminieren: \[ (x:4) \cdot 4 = 10 \cdot 4 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x = 40 \] Also ist die Lösung der Gleichung \( x = 40 \).

Äquivalenzumformungen sind mathematische Operationen, die auf beiden Seiten einer Gleichung durchgeführt werden, um die Gleichung zu vereinfachen oder zu lösen, ohne ihre Lösungsmenge zu verändern. Hier sind einige grundlegende Äquivalenzumformungen: 1. **Addition/Subtraktion**: Du kannst auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren. - Beispiel: \( x + 3 = 7 \) wird zu \( x = 4 \) durch Subtraktion von 3 auf beiden Seiten. 2. **Multiplikation/Division**: Du kannst beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl (außer Null) multiplizieren oder durch dieselbe Zahl teilen. - Beispiel: \( 2x = 8 \) wird zu \( x = 4 \) durch Division beider Seiten durch 2. 3. **Verwendung von Klammern**: Du kannst Klammern auflösen oder setzen, um die Gleichung zu vereinfachen. - Beispiel: \( 2(x + 3) = 10 \) wird zu \( 2x + 6 = 10 \) durch Auflösen der Klammern. 4. **Umkehrfunktionen**: Du kannst Umkehrfunktionen anwenden, um eine Variable zu isolieren. - Beispiel: \( \sqrt{x} = 3 \) wird zu \( x = 9 \) durch Quadrieren beider Seiten. Diese Umformungen helfen dir, die Gleichung Schritt für Schritt zu vereinfachen, bis du die Lösung findest.