Warum ist die Summe der Kathetenquadrate bei einem rechtwinkligen Dreieck gleich dem Quadrat der Hypotenuse?

Die Aussage, dass bei einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist, ist als Satz des Pythagoras bekannt. Dieser Satz lässt sich mathematisch wie folgt formulieren:

Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(a\) und \(b\) und der Hypotenuse \(c\) gilt:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Der Satz des Pythagoras kann auf verschiedene Weisen begründet werden, eine der bekanntesten ist der geometrische Beweis:

1. **Geometrischer Beweis:**
- Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(a\) und \(b\) und der Hypotenuse \(c\).
- Konstruiere ein Quadrat mit der Seitenlänge \(a + b\), das aus vier Kopien des rechtwinkligen Dreiecks und einem kleineren Quadrat in der Mitte besteht.
- Die Fläche des großen Quadrats beträgt \((a + b)^2\).
- Die Fläche des großen Quadrats kann auch als Summe der Flächen der vier Dreiecke und des kleineren Quadrats in der Mitte ausgedrückt werden.
- Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist \(\frac{1}{2}ab\), also ist die Fläche der vier Dreiecke \(4 \cdot \frac{1}{2}ab = 2ab\).
- Die Fläche des kleineren Quadrats in der Mitte ist \(c^2\).
- Somit ergibt sich die Gleichung:
\[ (a + b)^2 = 2ab + c^2 \]
- Durch Ausmultiplizieren und Umstellen erhält man:
\[ a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \]
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Dieser Beweis zeigt, dass die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist, was die Aussage des Satzes des Pythagoras bestätigt.