Wie ist der Beweis von Euklid für den Satz des Pythagoras?

Euklids Beweis des Satzes des Pythagoras ist einer der bekanntesten geometrischen Beweise. Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten ist. Hier ist eine vereinfachte Darstellung von Euklids Beweis:

1. **Konstruktion**:
- Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck \( \triangle ABC \) mit dem rechten Winkel bei \( C \).
- Zeichne ein Quadrat auf jeder Seite des Dreiecks: \( AB^2 \), \( AC^2 \), und \( BC^2 \).

2. **Zerlegung**:
- Zeichne Höhen von den Ecken des Quadrats über der Hypotenuse \( AB \) zu den gegenüberliegenden Seiten, die durch die Punkte \( C \) und die anderen beiden Ecken des Quadrats verlaufen. Dies teilt das Quadrat in zwei Rechtecke und zwei kleinere Quadrate.

3. **Flächenvergleich**:
- Die beiden Rechtecke, die durch die Höhen im Quadrat über der Hypotenuse entstehen, sind flächengleich zu den Quadraten über den beiden Katheten \( AC \) und \( BC \).

4. **Schlussfolgerung**:
- Da die Summe der Flächen der beiden Rechtecke gleich der Fläche des Quadrats über der Hypotenuse ist, folgt daraus, dass die Summe der Flächen der beiden Quadrate über den Katheten gleich der Fläche des Quadrats über der Hypotenuse ist.

Mathematisch ausgedrückt:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Dieser Beweis nutzt die Zerlegung und Umordnung von Flächen, um die Gleichheit der Flächen zu zeigen. Euklids Beweis ist elegant und basiert auf grundlegenden geometrischen Prinzipien.