Was ist die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Gleichung 4/x + 1 - 7/(4x + 4) = 3/(2x - 2)?

Um die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der gegebenen Gleichung zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor:

Die gegebene Gleichung lautet:
\[ \frac{4}{x+1} - \frac{7}{4x+4} = \frac{3}{2x-2} \]

### 1. Definitionsmenge bestimmen
Die Definitionsmenge umfasst alle Werte von \( x \), für die die Gleichung definiert ist. Das bedeutet, dass die Nenner der Brüche nicht null sein dürfen.

- \( x + 1 \neq 0 \) ⟹ \( x \neq -1 \)
- \( 4x + 4 \neq 0 \) ⟹ \( 4(x + 1) \neq 0 \) ⟹ \( x \neq -1 \)
- \( 2x - 2 \neq 0 \) ⟹ \( 2(x - 1) \neq 0 \) ⟹ \( x \neq 1 \)

Also ist die Definitionsmenge:
\[ D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \]

### 2. Gleichung lösen
Um die Gleichung zu lösen, bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner. Der gemeinsame Nenner der Brüche ist \( (x+1)(2x-2) \).

Schreibe die Gleichung um:
\[ \frac{4(2x-2)}{(x+1)(2x-2)} - \frac{7(x+1)}{(x+1)(2x-2)} = \frac{3(x+1)}{(x+1)(2x-2)} \]

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner \( (x+1)(2x-2) \), um die Brüche zu eliminieren:
\[ 4(2x-2) - 7(x+1) = 3(x+1) \]

Vereinfache die Gleichung:
\[ 8x - 8 - 7x - 7 = 3x + 3 \]
\[ x - 15 = 3x + 3 \]

Bringe alle \( x \)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite:
\[ x - 3x = 3 + 15 \]
\[ -2x = 18 \]
\[ x = -9 \]

### 3. Überprüfen, ob die Lösung in der Definitionsmenge liegt
Die Lösung \( x = -9 \) liegt in der Definitionsmenge \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \).

### 4. Lösungsmenge
Die Lösungsmenge ist:
\[ L = \{-9\} \]